Consideraremos o problema elípitco $-\Delta u + \alpha\chi_Du = \lambda u$ em $\Omega$, onde $\Omega$ é um domínio de R^n com fronteira regular, e $D\subset \Omega$ é um subconjunto fechado de medida de Lebesgue fixada. A motivação para este problema vem da Mecânica, onde esta equação é encontrada no estudo de vibrações de uma membrana composta. Seja $\lambda_1(D)$ o primeiro autovalor do problema, como função do conjunto D. Nesse trabalho mostraremos que $\lambda_1$ é um autovalor simples, e estudaremos o problema de minimizar $\lambda_1$ ao variarmos D no conjunto de todos os subconjuntos de medida fixada de $\Omega$. Mais especificamente, determinaremos fórmulas para a variação primeira e segunda de $\lambda_1$.

We will consider the elliptic problem $-\Delta u + \alpha\chi_Du = \lambda u in $\Omega$, where $\Omega$ is a domain in R^n with regular boundary, and $D \subset\Omega$ is a closed subset with prescribed Lebesgue measure. The motivation for this problem comes from Mechanics, where this equation models the vibrations of a composite membrane. Let $\lambda_1(D)$ be the first eigenvalue of the problem, which is seen as a function of the set D. In this work, we will show that $\lambda_1$ is a simple eigenvalue, and we will study the problem of minimizing $\lambda_1(D)$ when D varies in the family of all closed subsets of $\Omega$ with a given Lebesgue measure. More precisely, we will determine formulas for the first and the second variation of $\lambda_1$.