O objetivo desta tese é estudar a geometria diferencial plana local de uma hipersuperfície regular M em R⁴, usando a teoria de singularidades. Esta geometria é obtida através do estudo do contato de M com retas, planos e hiperplanos. O contato com hiperplanos (respectivamente, retas e planos) é medido através das singularidades dos elementos da família de funções altura H : M x S³ → R (respectivamente, família de projeções P M x S³ → R³ e II : M x G(2,4) → R²), onde S³ é a esfera unitária em R⁴, e G(2,4) é a Grassmaniana de 2-planos em R⁴. Escrevendo M localmente na forma de Monge w = f(x,y,z) obtemos as condições sobre os coeficientes da expansão de Taylor de f para identificar as singularidades genéricas de H_u , P_u e n_u. Estudamos as estruturas dos conjuntos em M de um dado tipo de singularidade, usando a aplicação Monge-Taylor e os teoremas de transversalidade de Thom. Além disso, mostramos que existe uma relação de dualidade entre certos estratos dos conjuntos de bifurcações de H e P, e deduzimos propriedades geométricas sobre estes conjuntos. Estudamos também o comportamento de P em um ponto umbílico plano parcial. A família II é de 4 parâmetros, portanto as singularidades genéricas que ocorrem são aquelas de codimensão ≤ 4. Precisamos então completar a tabela de singularidades dos germes R³, O → R², O em [45]. Fizemos isso usando o programa "Transversal" feito por Neil Kirk [26]. Obtemos critérios geométricos para reconhecer as singularidades de codimensão ≤ 1 e para estabelecer quando II é um desdobramento versal de II_u.

We initiate in this thesis the study of the local flat geometry of smooth hypersurfaces M in R⁴ using singularity theory. This geometry is obtained by studying the contact of M with lines, planes and hyperplanes. The contact with hyperplanes (respectively, lines and planes) is measured by the singularities of the elements of the family of height functions H: M x S³ → R (respectively, projections to hyperplanes P : M x S³ → R³, and projections to planes II: M x G(2,4) → R²), where S³ is the unit sphere in R⁴, and G(2,4) is the Grassmanian of 2-planes in R⁴. We write locally M in Monge form w = f(x, y, z) and obtain the conditions on the coefflcients of the Taylor expansion of f for identifying the generic singularities of H_u, P_u and II_u. We study the local structures of the set of points in M of a given singularity type using the Monge-Taylor map and Thom's transversality theorems. We also show that there is a duality relation between some strata of the bifurcation sets of H and P, and deduce geometric properties about these sets. We study in more details the behaviour of P at a partial flat umbilic point. The family II is of 4 parameters, so the generic singularities that occur in II_u are of codimension ≤ 4. Therefore we need to complete the list of singularities of germs R², O → R², O given in [45]. We do this using "Transversal", a program elaborated by Neil Kirk [26]. We also obtain geometric criteria for recognizing the codimension ≤ 1 singularities of II_u and for establishing when II is a versal unfolding of II_u.