No presente trabalho estudaram-se a distribuição do ponto de máximo ou de mínimo da função de produção Y_i = a + b X_i^1/2 + c X_i + e_i Para simplificação de cálculos usaram-se polinômios ortogonais, resultando a equação Y_i = â + b̂ P₁ (Z_i) + ĉ P₂ (Z_i) onde P₁ (Z_i) e P₂ (Z_i) são os polinômios ortogonais propriamente dito Portanto têm-se b̂ e ĉ independentes. O ponto de máximo ou de mínimo dessa equação é dado por √X= -b / 2 ĉ. Estimaram-se b e c em um total de 536 ensaios com a cultura do algodão. Com esses valores geraram através da sub-rotina RANDU 1.000 valores para b̂ e 1.000 para ĉ com distribuição aproximadamente normal. Esses valores foram ajustados adequadamente de modo que obtiveram-se 1,000 valores para b̂ e 1.000 para ĉ, relativos a cada uma das variâncias: 5,00; 10,00; 15,00; 20,00; 25,00; 30,00; 35,00; 40,00; 45,00 e 50,00. Com esses valores calcularam-se o terceiro e quarto momentos em relação à média, o quarto momento esperado (caso a distribuição de √X fosse normal). Obtiveram-se ainda os valores de ?^₁ (coeficiente de assimetria) ?^₂ (coeficiente de curto - se). Após a aplicação da prova de t, concluíram que somente nas variâncias σ² 5,00 e σ² 10,00 a distribuição de √X é aproximadamente normal. Nos demais casos, foge completamente da normalidade; caracterizando distribuições leptocúrticas e com assimetria positiva. Calcularam-se ainda quatro intervalos de confiança para √X: 1 - Intervalo de confiança pelo método de Fieller. 2 - Intervalo de confiança empírico a um nível de 5% de probabilidade. Nesse caso para cada 1.000 dados tomaram - se o menor e o maior valor, após a eliminação dos 25 maiores e dos 25 menores. 3 - Intervalo obtido mediante a fórmula (Descrito na Dissertação) é obtido com a fórmula usual de variância. 4 - Intervalo obtido através da fórmula (Descrito na Dissertação) é obtido por diferenciação do ponto de máximo ou de mínimo. Concluem-se que os intervalos obtidos pelo método de Fieller e empiricamente sio coincidentes, embora possuem intervalos maiores do que os obtidos através de V̂₂ (√X), que é o mais preciso. Resultados insatisfatórios foram obtidos com V̂₁ (√X) pois, para σ^{2 > 35,00 , os extremos inferiores são negativos.}

A distribution of the point of maximum or minimum of the function of production Y_i = a + b X_i^1/2 + c X_i + e_i was s tudied. For simplifying the calcalations orthogonas polynomials were used thus resulting in the equation Y_i = â + b̂ P₁ (Z_i) + ĉ P₂ (Z_i) where P₁ (Z_i) and P₂ (Z_i) are the orthogonal polynomials, however b̂ and ĉ are independents. The point of maximum or minimum is given by √X= -b / 2 ĉ, b̂ and ĉ were estimated in a total of 536 trials of cotton fields. With these values and using the sub-routine RANDU, 1000 values of b̂ and 1000 for ĉ, both with aproximately normal distributions were obtained. These values were adequately ajusted in a way that 1000 values for b̂ and 1000 for ĉ were obtained relativa to each one of the variances: 5,00 10,00; 1 5,00; 20,00; 25,00; 30,00; 35,00; 40,00; 45,00 and 50,00. With these values a third and forth moments were calculated in relation to the average the forth moment being expected (should a distribution of √X be normal). Values of ?^₁ (coefficient of Asymmetry) and ?^₂ (coefficient of Kurtosis) were also obtained. After the application of the t test it was concluded that only in the variances σ² 5,00 and σ² 10,00 the distribution of (√X) is approximately normal. ln the remaining cases these was a com plet divergence from the normality thus characterising leptokurtic distribution with a positive asymmetry. √X. 1 - Interval of confidence by the method of Fieller. 2 - Interval of empirical confidence at a level of 5% probability. In this case, for each 1000 data the smal - lest and the largest values were formed as being the lowest extreme and highest respectively, after eliminating 25 of the largest and 25 of the smallest. 3 - Interval of conf idence obtained by (See dissertation) 4 - Interval of confidence obtained by (See dissertation) is obtained by differentiation of the points of maximum or minimum. It was concluded that the intervals obtained by the method of Fieller and those obtained empirically coincide, although they have intervals larger than those obtained by V̂₂ (√X) which is more precise. Unsatisfactory results were obtained with V̂₁ (√X), because for values of σ^{2 > 35,00 , the lowest extreme are negative.}