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Mémoire de Maîtrise
DOI
https://doi.org/10.11606/D.11.1985.tde-20220208-045926
Document
Auteur
Nom complet
Ronaldo Seichi Wada
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
Piracicaba, 1985
Directeur
Titre en portugais
A questão da heterocedasticia na comparação de duas médias
Mots-clés en portugais
HETEROCEDASTICIA
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
MÉDIAS
Resumé en portugais
O problema de Behrens-Fisher é clássico na literatura. No contexto mais simples, este problema se refere à comparação de duas médias, usando o teste t de Student, quando as variâncias são desconhecidas e não são supostas iguais, ou seja, quando ocorre heterocedasticia. Nesses casos, existem diversas propostas alternativas para o teste. Comparamos essas propostas, simulando 216 mil pares de amostras, nas seguintes condições: 1) Amostras com médias iguais e variâncias iguais (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razoes n2/n1 = 1, 2, 3; 2) Amostras com medias iguais e variâncias diferentes, nas razões σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3; 3) Amostras com medias diferentes e variâncias iguais (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3; 4) Amostras com médias diferentes e variâncias diferentes, nas razões σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3. Os resultados obtidos permitiram concluir que: 1) Os resultados obtidos através do teste t usual, e do teste t, nas formas propostas por Welch-Satterthwaite e Aspin-Welch são praticamente iguais, quando as amostras são de mesmo tamanho. Então, nesses casos, e recomendável proceder ao teste t, na forma usual, porque os cálculos são mais simples; 2) Se a razão de tamanhos de amostras for da ordem de 2 e 3, o teste t, na forma usual, não leva a bons resultados. Nesses casos não é recomendável proceder ao teste usual, a menos que a aplicação do teste seja precedida por uma transformação de variáveis que estabilize a variância; 3) Se a razão de tamanhos de amostra for da ordem de 2 e 3, o teste t, na forma proposta por Aspin-Welch, leva a resultados ligeiramente melhores em termos de poder de teste àqueles obtidos quando se procede ao teste t, na forma proposta por Welch-Satterthwaite, o que implica em um teste de maior poder, consequentemente, menor probabilidade de cometer erro tipo II. Essa diferença, entre as duas formas de teste, diminui com o aumento do total de elementos nas duas amostras. No entanto, se houver interesse em um teste associado a menor probabilidade de cometer erro tipo I, é razoável proceder ao teste t, na forma proposta por Welch-Satterthwaite, o que não implica em perda considerável do poder; 4) O teste t, na forma proposta por Cochran, tem menor poder se a razão de tamanhos de amostra for da ordem de 2 e 3. O poder cresce com o aumento do total de elementos nas duas amostras. No entanto, este teste pode ser mais seguro se, no problema dado, existe prejuízo real em cometer erro tipo I.
Titre en anglais
On the heteroschedasticity in the comparison between two means
Resumé en anglais
It is classical for statisticians: the Behrens-Fisher problem. In the context of two samples, the Behrens-Fisher problem is, in short, the testing of the equality of two means by using the Student t-test when the variances are by assumption unknown and unequal, i.e., when heteroschedasticity is assumed. There are some alternative procedures for such tests, compared herein by simulating 216 thousands of two-samples, in the following conditions: 1) Samples with equal means and equal variances, sample sizes with ratio n2/n1 = 1, 2, 3, and N = n2 + n2 = 12, 24, 36; 2) Samples with unequal means and equal variances (σ21 = 4, 8, 16), sample sizes with ratio n2/n1 = 1, 2, 3, and N = n1 + n2 = 12, 24, 36; 3) Samples with equal means and unequal variances, ratio σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21 = 4, 8, 16), sample sizes with ratio n2/n1 = 1, 2, 3, and N = n1 + n2 = 12, 24, 36; 4) Samples with unequal means and unequal variances, ratio σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21= 4, 8, 16), sample sizes with ratio n2/n1 = 1, 2, 3, and N = n1 + n2 = 12, 24, 36. It was concluded, from the findings, that: 1) The Student t-test, the Welch-Satterthwaite and the Aspin-Welch ts give similar results when sample sizes are equal. Thus in such cases the Student t-test should be applied, because computation is easier when this procedure is adopted; 2) When the sample size ratio is 2 or 3, the Student t-test do not lead to reasonable results. So this procedure is appropriate only when a transformation makes the samples variances nearly equal; 3) When the sample size ratio is 2 or 3, the Aspin-Welch approximate t leads to greater power, compared to the Welch-Satterthwaite approximate t-test. Differences between procedures are smaller when larger sample sizes are used. However, it is reasonable to use Welch-Satterthwaite procedure when there is awareness that type I error should not be committed. In such cases, the loss in power can be disregarded; 4) When the sample size ratio is 2 or 3, the Cochran approximate t is less powerful, but increases with the sample size. It should be noted, however, that the Cochran solution might be safer when type I error should not be committed.
 
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WadaRonaldoSeichi.pdf (9.86 Mbytes)
Date de Publication
2022-02-08
 
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