Neste trabalho, foi feito um estudo dos experimentos com parcelas subdivididas em blocos casualizados, com tratamentos secundários em apenas alguns dos tratamentos principais. Para tanto, adotou-se o modelo matemático: Y_ijk = m + t_i + b_j + δ_ij + t_k' + (tt')_ik + e_ijk onde, i = 1, 2, ..., I, I+1, ..., L ; j = 1, 2, ... J ; K = 1, 2, ..., s_i, com s_i = K, para i = 1, 2, ..., I, e s_i = 1, para i = I + 1, I + 2, ..., L ; sendo n = J(IK+L-I) o número total de observações. Ademais, é necessário considerar que na análise em questão, quando s₁ = 1, os (L-I)J valores observados do tipo y_ij1, para i = I+1, I+2, ... , L e j = 1, 2, ..., J , são descritos pelo modelo adotado eliminando os efeitos t_k' e (tt')_ik uma vez que os (L-I) tratamentos principais não possuem tratamentos secundários. Definindo agora os termos do modelo, tem-se: m = media geral; t_i = efeito do i-ésimo nível do tratamento principal T; b_j = efeito do j-ésimo bloco; δ_ij = efeito residual das parcelas, caracterizado como componente do erro (a); t_k' = efeito do k-êsimo nível do tratamento secundário T'; (tt')_ik = efeito da interação do i-ésimo nível do tratamento T com o k-ésimo nível do tratamento T'; e_ijk = efeito residual das subparcelas, caracterizado como componente do erro (b). Sobre as distribuições das variáveis aleatórias δ_ij e e_ijk foram feitas as seguintes pressuposições: a) δ_ij são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição N(O; σ_δ²); b) e_ijk são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição N(O; σ²); c) δ_ij e e_ijk e são não correlacionadas. Assumiu-se ainda, que o modelo matemático adotado, inclui as seguintes restrições: (Descrito na Tese). No desenvolvimento da metodologia, supôs-se um ensaio com parcelas subdivididas no qual os L tratamentos principais foram dispostos em blocos casualizados. Considerou-se ainda, sem perda de generalidade, que os K tratamentos secundários estivessem presentes apenas nos I primeiros tratamentos principais. Sob essas condições, foram determinados: a) o sistema de equações normais; b) estimadores dos parâmetros; c) somas de quadrados; d) esperanças dos quadrados médios; e) critérios para os testes das hipóteses de nulidade usuais; f) critérios para comparações múltiplas, baseados nas variâncias das funções lineares estimáveis. Os testes das três hipóteses básicas, isto e, as hipóteses de nulidade para efeitos de tratamentos principais (T), efeitos de tratamentos secundários (T') e efeitos de interação (Tx T'), portaram-se como de modo usual, no tocante aos resíduos apropriados. Neste trabalho, estruturou-se também decomposições total e parcial do resíduo (a) em componentes aplicáveis e apropriados as comparações (contrastes) de interesse, empregando o método das transformações lineares para mostrar essa decomposição, sendo este um dos procedimentos para contornar problemas de heterocedasticidade do erro. Mostrou-se que cada componente do resíduo (a), conseguido através de transformações lineares, corresponde ao resíduo apropriado para testar um contraste do conjunto ortogonal, segundo o qual foi decomposta a soma de quadrados de tratamentos principais. Neste caso, o resíduo (a) se identifica com a “interação” tratamentos principais x blocos (TxB). Assim sendo, cada componente desta “interação”, correspondendo ao resíduo específico para testar um contraste Y_h é dado por: (Descrito na Tese) onde ŷ_hj é a estimativa do contraste Y_h no bloco j, os a_hi são os coeficientes do contraste entre totais de tratamentos.

Split-plot Designs are treated in situations were sub-treatments do not appear with all main treatments. For this purpose the usual model was considered: Y_ijk = m + t_i + b_j + δ_ij + t_k' + (tt')_ik + e_ijk; i = 1, 2, …, I, I + 1, …, L ; j = 1, 2, …, J (See Theses); being n = J(IK+L-I) the total number of observations. Furthermore it is necessary to consider that in the proposed analysis, when s_i = 1, the (L-I)J observed values of y_ij1 type, i = I+l, 1+2, … , L and j = 1, 2,…, J, are described by the adopted model eliminating t_k' and (tt')_ik effects, as long as the (L-I) main treatments do not have secondary treatments. Now, defining the model terms we have: y_ijk : observed value of the (i,k)^th sub-plot in the j^th block; m : general mean; t_i : i^th level of main treatment effect; b_j : j^th level of block effect; δ_ij : residual effect due to plots, characterized as (a)-component of the error; t_k' : K^th level of sub-treatment effect; (tt')_ik : (i, k) ^th level of main treatment x subtreatment interaction effect; e_ijk : residual effect due to sub-plots, characterized as (b)-component of error. With respect to the distributions of the random variables δ_ij and e_ijk, the following restrictions were made: (a) δ_ij are r.v. independently and identically distributed as N(O; σ_δ²); (b) e_ijk are r.v. independently and identically distributed as N(O;σ²); (c) δ_ij and e_ijk and are not correlated. We have assumed also that the mathematical model adopted will have to include the following conditions: (See Theses). ln the methodology development we have assumed a Split­plot design where L main treatments has been arranged in randomized blocks. We have also considered, without loss of generality, that the K secondary treatments are present only in the first I main treatments. Under these conditions were determined: (a) Normal Equations; (b) Parameter estimators; (e) Sums of squares; (d) Expected mean squares; (e) Criteria of usual hypotheses tests; (f) Multiple Comparisons Criteria, based on the estimable linear functions variances. The tests of the three basic hypotheses, that is, the ones for main and secondary null effect hypotheses and for TxT>' interaction are calculated by the usual way, with respect to the appropriated error mean square. The total and partial decompositions of the (a) residue in components appropriated to compare treatments with possible different variances. We have showed that each (a) residue component obtained by linear transformation, corresponds to the appropriated residue to test a contrast from the orthogonal set under which the sum of squares of main treatment was decomposed. In this last case, the (a) residue is identified with the main treatment x blocks (TxB) “interaction”. In this case each component of this “interaction” will correspond to the specific residue to test a contrast Y_h and will be given by: (See Theses). where ŷ_hj is the y_h contrast estimate in block j and the a;_hi are the contrast coefficients among main treatments totals.