São bastante comuns os experimentos na área agronômica e biológica nos quais as medidas são tomadas repetidamente sobre as mesmas árvores, os mesmos animais, etc. Geralmente a variável resposta para cada unidade experimental é observada em diversas ocasiões e também sob diferentes condições experimentais (tratamentos). Para dados longitudinais as ocasiões usualmente referem-se ao tempo em que as observações são feitas. É de se esperar que as observações realizadas numa mesma unidade apresentem-se correlacionadas, e que essa diminua ao longo do tempo e possivelmente, as variâncias sejam crescentes ao longo das ocasiões de avaliação. Este fato importantíssimo deve ser levado em consideração na análise estatística dos dados. Em estudos de crescimento de árvores geralmente o comportamento da variável resposta ao longo do tempo é melhor descrito por um modelo não linear nos parâmetros de interesse, já que esses modelos traduzem melhor a realidade do fenômeno biológico em estudo. Além disso é possível fazer uma interpretação biológica dos parâmetros. O delineamento experimental em blocos ao acaso é frequentemente utilizado na pesquisa agronômica, devendo o efeito de blocos ser incluído no modelo estatístico para isolar a variabilidade devida a ele, já que o mesmo participou na definição da estrutura de covariâncias. A interação blocos e tempo não foi incluída no modelo. Para a análise estatística utilizaram-se os dados de um experimento fatorial envolvendo duas espécies de eucalipto e dois espaçamentos conduzido no delineamento em blocos casualizados; a variável resposta considerada foi o volume sólido com casca (m³/ha), avaliado em árvores nas idades de 3, 4, 5 e 9 anos. Foram definidos dois modelos estatísticos: 1) o efeito de blocos é adicionado como um fator extra e de forma linear e 2) o efeito de blocos é adicionado de forma não linear. Em ambos, o efeito de blocos foi considerado aleatório. Esses modelos são em forma, similares ao modelo apresentado por Vonesh & Chinchilli (1997), capítulo 8, denominado de modelo não linear generalizado misto. Para representar a função esperada do crescimento de árvores de eucalipto utilizou-se o modelo não linear de Gompertz. Foram utilizadas sete diferentes estruturas para a matriz de covariâncias, sendo que três delas são parcialmente definidas pelo efeito aleatório de bloco usado para modelar os coeficientes de regressão individuais. Foram utilizados três métodos de estimação, quais sejam: 1) mínimos quadrados generalizados (MQG); 2) máxima verossimilhança (MV) e 3) máxima verossimilhança restrita (MVR). Para o primeiro método foi utilizado o procedimento em 4 estágios apresentado em Vonesh & Carter (1992) e Vonesh (1992) e para os dois últimos foi utilizado o algoritmo EM dentro de um outro de mínimos quadrados não linear apresentado em Hirst et. al. (1991) e Vonesh & Chinchilli (1997). Observou-se que, dentro de cada uma das estruturas as estimativas dos parâmetros fixos foram bem próximas para os três métodos de estimação. Através de algumas medidas de seleção de modelos e qualidade do ajuste, selecionou-se a estrutura quatro, e, também verificou-se que a função resposta marginal ficou bem ajustada aos dados. Comparando-se modelos sem e com o efeito aleatório de blocos observou-se que no segundo caso ocorreu maior precisão nas estimativas dos parâmetros. Após a estimação foi estudado o efeito das espécies e dos espaçamentos sobre o volume através de uma série de testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo. Houve efeito significativo de espécies e espaçamentos e a interação não foi significativa. Foram calculados os intervalos de confiança para os parâmetros fixos do modelo como também para as respostas médias nas diferentes idades. Para as análises estatísticas foram desenvolvidas rotinas na linguagem do PROC IML e PROC NLIN do SAS (Statistical Analysis System). (Anexo disponível somente na versão impressa)

It is very common the experiments in the agricultural and biological areas in that the measures are taken repeatedly about the same trees or animals. Generally the response variable for each experimental unit is observed on multiple occasions and under different experimental conditions, that is, treatments. For longitudinal data the occasions usually refer to the time in that the observations are made. Likely the observations made on the same unit are correlated, probably decreasing over time and possible the variances are growth among the serial measurements. This importantly fact must be considered in the statistical analysis of the data. ln growing studies of the trees, generally the behaviour of the response variable over time is best described by a nonlinear model in the parameters of interest. This models characterizes better the reality of biological phenomenon in study, further is possible to do a biological interpretation of the parameters. The randomized block design is frequently used in the agricultural research. The effect of the block must be included in the statistical model for to isolate the variability due to it. The same embarked in the definition of the covariances structures. The interaction between block and time was not included in the model. For the statistical analysis was used the data from a factorial experiment involving two Eucalyptus’s species and two spacing in a randomized block design; the response variable considered was the solid volume with bark, in m³/ha, evaluated in trees with 3,4,5 and 9 years. Were defined two statistical models: 1) the block effects enter in the model as an extra factor in a linear fashion and 2) the block effects enter in the model in a nonlinear fashion. ln both of the models the effect of the block was considered random. This models are in form similar that modelpresented by Vonesh and Chinchilli (1997), chapter 8, called generalized nonlinear mixed-effects models. To represent the expected function of growing of the Eucalyptus’s trees was used the Gompertz’s nonlinear model. Were used seven different structures for the matrix of covariances, three of them are partialy defined by the random block effects used for to model, the individuals regression coefficients. Were used three methods of estimation: 1) estimated generalized least square (GLS); 2) maximum likelihood (ML) and 3) restricted maximum likelihood (REML). For the first method was used the procedure em four-stages described in Vonesh & Carter (1992) and Vonesh (1992) and for the last two were used the EM-algorithm inside a nonlinear least squares algorithm described in Hirst et. al. (1991) and Vonesh & Chinchilli (1997). Within each of one structures were observed the estimates of fix parameters are closeness for the three methods of estimation. Through of some measures of model selection and goodnessof-fit, was selected the structure four, between that studied, and was considered that the marginal response function is well fitted. By comparing the models with and without the random effect of the block, was observed that in the second model the estimates óf the parameters happened more precision than in the first model. ln addition to estimation the effect of species and spacing about the volume was investigated through a series of hypothesis tests about the parameters of the model. Was observed significant difference between species and spacing, but no significant difference for the interaction. Were calculated the confidence intervals for the fixed parameters of the model and for the mean responses in the different ages. For the statistical analysis were developed routines in the PROC IML and PROC NLIN language of the SAS (Statistical Analysis System). (Attachments only available in print verson)