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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.43.2008.tde-20052008-101058
Documento
Autor
Nome completo
Alexei Magalhães Veneziani
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2008
Orientador
Banca examinadora
Marchetti, Domingos Humberto Urbano (Presidente)
Alfonso, Nestor Felipe Caticha
Barata, Joao Carlos Alves
Fontes, Luiz Renato Goncalves
Vares, Maria Eulalia
Título em português
Ensembles de matrizes aleatórias normais: projeção, comportamento assintótico e universalidade dos autovalores
Palavras-chave em português
Distribuição dos autovalores
Expansão Assintótica
Matrizes aleatórias normais
Núcleo integral e reprodutor
Universilidade
Resumo em português
Uma matriz `A IND.N´ de ordem N ´e normal se e somente se comuta com sua adjunta. Nesta tese investigamos a estatística dos autovalores (no plano complexo) de ensembles de matrizes aleatórias normais quando a ordem N destas tende a infinito. A função distribuição de probabilidade no espaço das matrizes normais atribui, como na mecânica estatística, um peso de Boltzmann `e POT.-NF(`A IND.N´)´ a cada realização `A IND.N´ destas matrizes, onde F é uma função a valores reais invariante por transformações unitárias. Realizando uma mudança de variáveis (das variáveis de entrada para as variáveis espectrais), escrevemos a distribuição marginal conjunta dos autovalores `{`z IND.i´} POT.N´ `IND.i=1´, bem como a função de n-pontos correspondente a vários ensembles, como o determinante de um núcleo integral associado. A partir deste formalismo bem estabelecido na literatura, apresentaremos nesta tese dois tipos de resultados: Primeiramente, explorando a semelhança da distribuição conjunta dos autovalores a um problema variacional sobre as medidas de equilíbrio eletrostático de cargas sujeitas a um potencial externo V : C ? R (escolhendo F(`A IND.N´) = ```sigma´ POT.N´ IND.i´=1 V (`z IND.i´)), podemos aplicar a teoria de potenciais logarítmicos para obter a única medida de equilíbrio coincidente com a função de 1-ponto destes ensembles. Com base nesta teoria, propomos nesta tese um método de interpolação analítica capaz de projetar a medida de equilíbrio dos ensembles normais em medidas de equilíbrio dos ensembles hermitianos e unitários correspondentes. Ilustramos o procedimento com várias aplicações. O segundo tipo de resultados utiliza o método de ponto de sela ao nícleo integral da família de ensembles de matrizes normais com potenciais `V IND.`alfa´´ (z) = `|z| POT.`alfa´´ , z `PERTENCE A´ C e `alfa´ `PERTENCE A´ ]0,`INFINITO´[. Analogamente ao que foi demonstrado em ensembles hermitianos por Deift, estabelecemos por intermédio desta expansão um conceito similar de universalidade para esta família, fazendo uso de mapas conformes e a teoria de espaços de Segal-Bargmann. Sobre o sentido de universalidade definido por G. Oas, mostramos que a afirmação de universalidade neste sentido por este autor é incorreta quando a cauda desta probabilidade é levada em conta.
Título em inglês
Random normal matrices ensembles: projection, asymptotics behavior and universality of ugenvalues
Palavras-chave em inglês
Asymptotic expansion
Engenvalues distribution
Random normal matrices
Reproductor and integral Kernel
Universality
Resumo em inglês
A matrix `A IND.N´ of order N is normal if and only if it commutes with its adjoint. In the present thesis we investigate the eigenvalues statistics (in the complex plane) of ensembles of normal random matrices when their order N tends to infinite. The probability distribution function in the space of normal matrices attributes, as in statistical mechanics, a Boltzmann weight `e POT.-NF(`A IND.N´)´ at each matrix realization `A IND.N´, where F is a real-valued function invariant by unitary transformations. By performing a change of variables (from entry variables to spectral variables) we write the marginal joint distribution of eigenvalues {`z IND.i´} POT.N´ `IND.i=1´, as well as the n-points functions corresponding to several ensembles, as the determinant of an associated integral kernel. From this formalism well-established in the literature, we shall present in this thesis two types of results: Firstly, exploiting the similarity of joint distribution of eigenvalues to a variational problem on electrostatic equilibrium measures of charges subjected to an external potential V : C - > R (by choosing F(`A IND.N´) = ```sigma´ POT.N´ IND.i´=1 V (`z IND.i´)), we can apply the theory of logarithmic potentials to obtain the unique equilibrium measure coinciding with the 1-point function of these ensembles. Based on this theory, we propose in this thesis a method of analytical interpolation capable of projecting the equilibrium measure of normal ensembles in equilibrium measures of corresponding Hermitian and unitary ensembles. We give several applications of this procedure. The second type of results utilizes the saddle point method applied to integral kernel of a family of normal matrix ensembles with potentials `V IND.`alfa´´ (z) = `|z| POT.`alfa´´ , z `PERTENCE A´ C e `alfa´ `PERTENCE A´ ]0,`INFINITO´[. Similarly to what has been shown in hermitian ensembles by Deift, we established by mean of this expansion a similar concept of universality for this family, making use of conformal maps and theory of Segal-Bargmann space. Concerning the universality defined by G. Oas, we show that the universality claimed by this author is incorrect when the tail of this probability is taking into account.
 
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tesefim.pdf (1,013.92 Kbytes)
Data de Publicação
2008-06-11
 
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