Este trabalho é uma contribuição ao estudo da geometria de larga escala de espaços de Banach e de grupos topológicos. Embora esses dois campos sejam tradicionalmente estudados de forma independente, em 2017, Christian Rosendal mostrou que eles podem ser encarados como faces distintas de algo maior: a geometria grosseira de grupos topológicos. Uma ferramenta essencial para o desenvolvimento dessa nova abordagem é a noção de estrutura coarse, introduzida por John Roe em 2003, a qual pode ser vista como a contraparte de larga escala do conceito de estrutura uniforme. Por essa razão, os capítulos iniciais da dissertação destinam-se a apresentar uma introdução elementar à teoria dos espaços uniformes e dos espaços coarse, destacando os conceitos-chave para a compreensão dos demais capítulos e conferindo particular atenção ao estudo de uniformidades e estruturas coarse associadas a grupos topológicos, dentre as quais são enfatizadas as estruturas uniforme à esquerda e coarse à esquerda de um grupo topológico. No capítulo 5, são discutidos resultados recentes de Christian Rosendal acerca da existência de mergulhos uniformes e mergulhos grosseiros entre espaços de Banach. Dois dos mais importantes afirmam que, se existir uma função f uniformemente contínua e não colapsada entre os espaços de Banach (X, ||·||_X) e (E, ||·||_E), então, para todo p em [1, + infty[, existirá um mergulho uniforme de (X, ||·||_X) em (l_p(E), ||·||_p) o qual é, também, um mergulho grosseiro, e que, se f for, também, limitada, existirá um mergulho grosseiro uniformemente contínuo de (X, ||·||_X) em (ExE, ||·||_(ExE)). Já no capítulo 6, estuda-se a classe das estruturas coarse invariantes à esquerda sobre grupos. Inicialmente, mostra-se como uma estrutura coarse invariante à esquerda em um grupo (G, · ) pode ser descrita em função de um certo ideal sobre G, e vice-versa. Em seguida, utiliza-se esse resultado para caracterizar a estrutura coarse à esquerda E_L de um grupo topológico (G, · , T) em termos da coleção dos conjuntos grosseiramente limitados em (G, E_L) e, com isso, provar que a estrutura coarse à esquerda associada ao grupo aditivo de um espaço normado coincide com a estrutura coarse limitada induzida pela norma.

This work is a contribution to the study of large-scale geometry of Banach spaces and topological groups. Although these two fields are traditionally studied independently, in 2017, Christian Rosendal showed they can be regarded as different aspects of a more general theory: the coarse geometry of topological groups. An essential tool for the development of this new approach is the notion of coarse structure, introduced by John Roe in 2003, which can be seen as the large-scale counterpart of the concept of uniform structure. For this reason, the initial chapters of this work intend to present an elementary introduction to both uniform and coarse spaces theory, highlighting the key concepts for the understanding of the other chapters and paying particular attention to the study of uniform and coarse structures associated with topological groups, and, mainly, to the left-uniform and the left-coarse structures of a topological group. In Chapter 5, we discuss Rosendal's recent results on the existence of uniform and coarse embeddings between Banach spaces. Two of the most important state that, if there is an uncollapsed uniformly continuous function f between the Banach spaces (X, ||·||_X) and (E, ||·||_E), then, for all p in [1, + infty[, (X, ||·||_X) admits a simultaneously uniform and coarse embedding into (l_p(E), ||·||_p), and that, if, in addition, we assume that f maps into a bounded set, then (X, ||·||_X) also admits a uniformly continuous coarse embedding into (ExE, ||·||_(ExE)). On the other hand, in chapter 6, we focus our attention on the class of left-invariant coarse structures on groups. In the first section, we show how a left-invariant coarse structure on a group (G, · ) can be described in terms of a certain ideal on G, and vice versa. After that, we use this result to characterize the left-coarse structure E_L of a topological group (G, · , T) in terms of the collection of the coarsely bounded sets of (G, E_L) and, with this, we prove that the left-coarse structure associated with the additive group of a normed space is simply the bounded coarse structure induced by its norm.