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Thèse de Doctorat
DOI
10.11606/T.45.2017.tde-06122017-113522
Document
Auteur
Nom complet
Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 2017
Directeur
Jury
Fisher, Albert Meads (Président)
Bonnot, Sylvain Philippe Pierre
Brandão, Daniel Smania
Ibarra, Sergio Augusto Romana
Salomão, Pedro Antonio Santoro
Titre en portugais
Famílias Anosov: estabilidade estrutural, variedades invariantes, e entropía para sistemas dinâmicos não-estacionários
Mots-clés en portugais
Difeomorfismo de Anosov
Entropia topológica
Família Anosov
Sistemas dinâmicos aleatórios
Sistemas dinâmicos não-autônomos
Sistemas dinâmicos não-estacionários
Topologia forte
Resumé en portugais
As famílias Anosov foram introduzidas por P. Arnoux e A. Fisher, motivados por generalizar a noção de difeomorfismo de Anosov. A grosso modo, as famílias Anosov são sequências de difeomorfismos (fi)i∈Z definidos em uma sequencia de variedades Riemannianas compactas (Mi)i∈Z, em que fi: Mi ->Mi+1 para todo i ∈ Z, tal que a composição fi+no· · ·ofi, para n >=1, tem comportamento assintoticamente hiperbólico. Esta noção é conhecida como um sistema dinâmico não-estacionário ou um sistema dinâmico não-autônomo. Sejam M a união disjunta de cada Mi, para i ∈ Z, e Fm(M) o conjunto consistente das famílias de difeomorfismos (fi)i∈Z de classe Cm definidos na sequência (Mi)i∈Z. O propósito principal deste trabalho é mostrar algumas propriedades das famílias Anosov. Em particular, mostraremos que o conjunto destas famílias é aberto em Fm(M), em que Fm(M) é munido da topologia forte (ou topologia Whitney); a estabilidade estrutural de certa classe de famílias Anosov, considerando conjugações topológicas uniformes; e várias versões para os Teoremas de variedades estáveis e instáveis. Os resultados que serão apresentados aqui generalizam alguns outros resultados obtidos em Sistemas Dinâmicos Aleatórios, os quais serão mencionados ao longo do trabalho. Além do anterior, será introduzida a entropia topológica para elementos em Fm(M) e mostraremos algumas das suas propriedades. Provaremos que esta entropia é contínua em Fm(M) munido da topologia forte. Porém, ela é descontínua em cada elemento de Fm(M) munido da topologia produto. Também apresentaremos um resultado que pode ser uma ferramenta de muita utilidade no estudo da continuidade da entropia topológica de difeomorfismos definidos em variedades compactas. Finalizaremos o trabalho dando uma lista de problemas que surgiram ao longo desta pesquisa e que serão analisados em um trabalho futuro.
Titre en anglais
Anosov families: structural stability, Invariant manifolds and entropy for non-stationary dynamical sytems
Mots-clés en anglais
Anosov diffeomorphism
Anosov family
Non-autonomous dynamical systems
Non-stationary dynamical systems
Random dynamical systems
Strong topology
Topological entropy
Resumé en anglais
Anosov families were introduced by P. Arnoux and A. Fisher, motivated by generalizing the notion of Anosov dieomorphisms. Roughly, Anosov families are sequences of dieomorphisms (fi)i∈Z dened on a sequence of compact Riemannian manifolds (Mi)i∈Z, where fi: Mi -> Mi+1 for all i ∈ Z, such that the composition fi+n o · · · o fi, for n >=1, has asymptotically hyperbolic behavior. This notion is known as a non-stationary dynamical system or a non-autonomous dynamical system. Let M be the disjoint union of each Mi, for each i ∈ Z, and Fm(M) the set consisting of families of Cm-dieomorphisms (fi)i∈Z dened on the sequence (Mi)i∈Z. The main goal of this work is to explore some properties of Anosov families. In particular, we will show that the set consisting of these families is open in Fm(M), where Fm(M) is endowed with the strong topology (or Whitney topology); the structural stability of a certain class of Anosov families, considering uniform topological conjugacies; and some versions of stable and unstable manifold theorems. The results that will be presented here generalize some results obtained in Random Dynamical Systems, which will be mentioned throughout the work. In addition to the above mentioned theorems, the topological entropy for elements in Fm(M) will be introduced, and we will show some of its properties. We will prove that this entropy is continuous on Fm(M) endowed with strong topology. However, it is discontinuous at each element of Fm(M) endowed with the product topology. We will also present a result that can be a very useful tool in the study of the continuity of the topological entropy of dieomorphisms dened on compact manifolds. We will nish the work by giving a list of problems that have arisen throughout this research and that will be analyzed in a future work.
 
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Thesis2.pdf (1.04 Mbytes)
Date de Publication
2017-12-06
 
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