Tese de Doutorado

No presente trabalho, assumindo a existência de 2𝔠 ultrafiltros seletivos incomparáveis, obtemos uma nova resposta à pergunta de Comfort sobre compacidade enumerável em potências infinitas de grupos topológicos. Isto é, para cada cardinal infinito 𝛼 ≤ 2𝔠, existe um grupo topológico Abeliano livre de torção G tal que Gλ é enumeravelmente compacto, para todo λ < 𝛼, mas G𝛼 não é enumeravelmente compacto. Assim também, adaptaremos a pregunta de Comfort para semigrupos de Wallace. Aproveitando a construção anterior, e usando 𝔠 ultrafiltros seletivos incomparáveis, mostraremos que para qualquer inteiro positivo m, existe um semigrupo de Wallace tal que a sua m-éssima potência é enumeravelmente compacta. Além disso, provaremos que existe um semigrupo de Wallace S de modo que Sn é enumeravelmente compacto, para todo n ∈ 𝜔, mas S𝜔 não é enumeravelmente compacto.

In the present work, assuming the existence of 2𝔠 incomparable selective ultrafilters, we obtain a new answer to Comfort's question about countable compactness in infinite powers of topological groups. That is, for each infinite cardinal 𝛼 ≤ 2𝔠, there exists a torsion-free Abelian topological group G such that Gλ is countably compact, for all λ < 𝛼, but G𝛼 is not countably compact. We will also adapt Comfort's question to Wallace semigroups. Taking advantage of the previous construction, and using 𝔠 incomparable selective ultrafilers, we will show that for any positive integer m, there exists a Wallace semigroup such that its m-th power is countably compact. Furthermore, we will prove that there exists a Wallace semigroup S such that Sn is countably compact, for all n ∈ 𝜔, but S𝜔 is not countably compact.