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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.45.2012.tde-17072013-113811
Documento
Autor
Nome completo
Leandro Candido Batista
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2012
Orientador
Banca examinadora
Galego, Eloi Medina (Presidente)
Ascui, Jorge Tulio Mujica
Aurichi, Leandro Fiorini
Ferenczi, Valentin Raphael Henri
Silva, Antonio Roberto da
Título em português
Teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K,X)
Palavras-chave em português
Distâncias de Banach-Mazur
Espaços de Banach
Espaços de funções contínuas a valores vetoriais
Isomorfismos
Teorema de Banach-Stone
Resumo em português

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C0(K1,X) é isomorfo a C0(K2,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C.

Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1,X) em C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo n ∈ N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1) em um subespaço de C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3, então a cardinalidade do α-ésimo derivado de K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do α-ésimo derivado de K1, para todo ordinal α.

Em seguida, seja n um inteiro positivo, Γ um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K,X) e C0(Γ,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,ωnk],X) e C0(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970.

Para um ordinal enumerável α, denotando por C(α) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, α], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωnk), 1 < n, k < ω, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(ω) e cada um dos espaços C(α), ω<α<ωω.
Título em inglês
Isomorphic theory of the Banach spaces C0(K,X)
Palavras-chave em inglês
Banach spaces
Banach- Stone Theorem
Banach-Mazur distances
Isomorphisms
Spaces of vector-valued continuous functions
Resumo em inglês

For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K,X) the space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1,X) is isomorphic to C0(K2,X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is separable or X* has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite or K1 and K2 have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case X = R or X = C.

We also prove that if K1 and K2 are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K1,X) onto C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3 implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n ∈ N, then K1 is homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3, then the cardinality of the α-th derivative of K2 is either finite or greater than the cardinality of the α-th derivative of K1, for every ordinal α.

Next, let n be a positive integer, Γ an infinite set with the discrete topology and X is a Banach space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach Mazur distance between C0(K,X) and C0(Γ,X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1,ωnk],X) and C0(N,X) is exactly 2n+1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern theorems.

For a countable ordinal α, writing C(α) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, α], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach- Mazur distances between C(ω) and C(ωnk), 1 < n, k < ω, such that H(n, k) - G(n, k) < 2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Peczynski question on the Banach-Mazur distances between C(ω) and each of the C(α) spaces, ω<α<ωω.
 
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TeoriaIsomorfa.pdf (918.17 Kbytes)
Data de Publicação
2013-08-22
 
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