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Thèse de Doctorat
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.1999.tde-20210729-023157
Document
Auteur
Nom complet
Fernando Abadie Vicens
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 1999
Directeur
Titre en portugais
Sobre ações parciais, fibrados de Fell, e grupóides
Mots-clés en portugais
Análise Funcional
Resumé en portugais
Esta tese tem tres partes. Na primeira, estudamos os produtos tensoriais de fibrados de Fell e suas aplicações. O resultado principal desta parte relaciona os produtos tensoriais máximo e mínimo das 'C POT.AST.'-álgebras seccionais plena e reduzida de dois fibrados de Fell, com as 'C POT.AST.'- álgebras plena e reduzida dos correspondentes produtos tensoriais máximo e mínimo dos fibrados. Como aplicação vemos, por exemplo, que se um fibrado de Fell satisfaz a propriedade de aproximação e tem fibra exata, então sua 'C POT.AST.'- álgebra seccional é exata. Em particular, o produto cruzado de uma 'C POT.AST.'- álgebra exata por uma ação parcial de um grupo amenable também é exato. Na segunda parte estudamos e resolvemos em três categorias o seguinte problema: toda ação parcial é a restrição de uma ação global? Uma tal ação global é chamada ação envolvente, e o espaço onde age é o espaço envolvente. Na categoria de conjuntos e funções a ação envolvente existe e é única, e ela está caracterizada por uma propriedade universal. Na categoria de espaços topológicos e funções contínuas também. Porém, neste caso a ação envolvente de uma ação parcial sobre um espaço de Hausdorff pode estar agindo sobre um espaço que não é de Hausdorff. Vemos então que o espaço envolvente é de Hausdorff se e somente se o espaço inicial é de Hausdorff e o gráfico da ação parcial é fechado. Mostramos que o fluxo de um campo vetorial sobre uma variedade é uma ação parcial, cujo gráfico é fechado em alguns casos e em outros não. Na categoria de 'C POT.AST.'-álgebras com os bimódulos de equivalência Morita como morfismos, a ação envolvente existe e é única. Neste contexto, o problema da ação envolvente está intimamente ligado com a dualidade de Takai. De fato, através do nosso estudo da ação envolvente mostramos qual é a forma que a dualidade de Takai toma para produtos cruzados por ações parciais. Como aplicações, mencionamos duas a seguir. Provamos que toda ação parcial de um grupo conexo sobre uma 'C POT.AST.'-álgebra com unidade deve ser uma ação global, o que generaliza o conhecido fato de que as soluções de uma equação diferencial sobre uma variedade compacta estão definidas em toda a reta real. Também provamos que o produto cruzado da 'C POT.AST.'-álgebra reduzida de um fibrado de Fell pela coação dual é liminal, postliminal ou nuclear, se e somente se a fibra sobre a identidade é respectivamente liminal, postliminal, ou nuclear. Na terceira parte mostramos que toda ação parcial sobre uma 'C POT.AST.'-álgebra comutativa tem naturalmente associado um grupóide com sistema de Haar, e que o produto cruzado pela ação parcial é isomorfo à 'C POT.AST.'-álgebra do grupóide
Titre en anglais
not available
Resumé en anglais
This thesis has three parts. In the first one, we study the tensor products between Fell bundles and their applications. The main result of this part relates the maximal and minimal tensor products of the full and reduced cross sectional 'C POT.AST.'-algebras of two Fell bundles, with the full and reduced cross sectional 'C POT.AST.'-algebras of the corresponding maximal and minimal tensor products of the bundles. As an application we see, for instance, that the cross sectional 'C POT.AST.'-algebra of a Fell bundle with the approximation property and exact fiber is also exact. In particular, the crossed product of an exact 'C POT.AST.'-algebra by a partial action of an amenable group is exact. In the second part, we study and solve in three categories the following problem: when is a partial action the restriction of a global one? Such an action is called enveloping action, and the space where it acts is the enveloping space. In the category of sets and maps, the enveloping action exists and is unique, and it is characterized by a universal property. The same happens in the category of topological spaces and continuous functions. In this case, however, the enveloping action of a partial action that acts on a Hausdorff space does not act in general on a Hausdorff space. We show that the enveloping space is Hausdorff if and only if the original one is Hausdorff, and the graph of the partial action is closed. We show that the flow of a vector field on a manifold is a partial action, whose graph may be closed or not. There exists one and only one enveloping action in the category of 'C POT.AST.'-algebras and Morita equivalence bimodules as morphisms. In this context, the problem of the enveloping action turns out to be intimately related with Takai duality. In Fact, our study of the enveloping action shows the form that Takai duality takes for crossed products by partial actions. As applications, we mention two. We prove that any partial action of a connected group on a unital 'C POT.AST.'-algebra must be a global action. This generalizes the well known fact that the solutions of a differential equation on a compact manifold are defined on all of the real line. We also prove that the crossed product of the reduced cross sectional 'C POT.AST.'-algebra of a Fell bundle by the dual coaction is liminal, postliminal, or nuclear, if and only if the unit fiber of the bundle is, respectively, liminal, postliminal, or nuclear. In the third part we show that any partial action on a commutative 'C POT.AST.'-algebra has naturally associated a grupoid with a Haar system, and that the crossed product by the partial action is isomorphic to the 'C POT.AST.'-algebra of the grupoid
 
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Date de Publication
2021-07-29
 
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