Dissertação de Mestrado

Seja C_p um grupo cíclico de ordem p prima e seja ℤ o anel de inteiros. Nosso objetivo é estudar conjuntos geradores das unidades do anel de grupo ℤC_p. Defina u_i as unidades de ℤC_p onde t é uma raiz primitiva módulo p, r é o menor inteiro positivo tal que tr é congruente a 1 módulo p e k é o inteiro (rt-1)/p. Então temos que u_i = (Σ_j=0^r-1 g^tj)(Σ_j=0^t-1 g^jti) - kĝ para cada i, 1 ≤ i ≤ (p-3)/2. Ferraz, em seu artigo "Units of ℤC_p", exibiu três conjuntos que são isomorfos entre si e geram U(ℤC_p). Nós estudamos esses conjuntos para escrever as unidades de ℤC_p sobre um t₁ como combinação linear das unidades de ℤC_p em outro t₂, na qual t₁ e t₂ são raízes primitivas módulo p. Como exemplo, explicitamos para o caso p=7 e mostramos como calcular para outros p primos. Por fim, estudamos brevemente como podemos expandir os conjuntos das unidades para ℤC_2p.

Let C_p be a cyclic group of prime order p, and let ℤ denote the ring of integers. Our goal is to study generating sets for the group of units of the group ring ℤC_p. Define the units u_i ℤC_p, where t is a primitive root modulo p, r is the smallest positive integer such that tr 1 mod p, and k is the integer (rt1)/p. Then u_i = (Σ_j=0^r-1 g^tj)(Σ_j=0^t-1 g^jti) - kĝ for each i, 1 i (p3)/2. Ferraz, in the article "Units of ℤC_p", exhibited three generating sets for U(ℤC_p) that are isomorphic to one another. We study these sets in order to express the units of ℤC_p associated with one primitive root t₁ as linear combinations of the units associated with another primitive root t₂, where t₁ and t₂ are primitive roots modulo p. As an example, we make this explicit in the case p = 7 and show how the computations can be carried out for other prime values of p. Finally, we briefly study how these generating sets of units can be extended to ℤC_2p.