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Doctoral Thesis
DOI
10.11606/T.45.2017.tde-03042017-161053
Document
Author
Full name
Humberto Henrique de Barros Viglioni
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2013
Supervisor
Committee
Ragazzo, Clodoaldo Grotta (President)
Boatto, Stefanella
Cabral, Hildeberto Eulalio
Castro, Helena Maria Avila de
Koiller, Jair
Title in Portuguese
Dinâmica de vórtices em superfícies com aplicações ao problema de dois vórtices no toro plano
Keywords in Portuguese
Disco unitário
Equação de Euler
Função de corrente
Função de Green
Função de Robin
Moduli
Potencial complexo
Potencial velocidade
Superfície de Riemann
Teichmüller
Toro
Vórtices
Abstract in Portuguese
Este trabalho apresenta uma dedução das equações para a dinâmica de vórtices em superfícies utilizando argumentos físicos e balanço de momento, obtendo o resultado já conhecido devido a Boatto/Koiller e Hally. Na primeira parte, elaboramos uma releitura da contribuição de diversos pesquisadores incluindo, além dos já citados, o trabalho de Marchioro e Pulvirenti sobre a propriedade de localização para a equação de Euler e também a importante contribuição de Flucher e Gustafsson no que diz respeito à determinação da função de Green e função de Robin hidrodinâmicas em domínios do plano. Na segunda parte revisamos o problema da dinâmica de um traçador passivo induzida por um vórtice no disco unitário e estendemos para o caso com vorticidade de fundo constante. Por fim, analisamos a dinâmica de dois vórtices no toro plano, a qual reduz-se ao estudo da dinâmica do centro de vorticidade com hamiltoniana dada pela função de Green. É feita uma descrição das bifurcações das curvas de níveis desta hamiltoniana com respeito a variações do parâmetro modular. Mostramos que o campo hamiltoniano em questão é preservado por biholomorfismos e, portanto, o espaço dos parâmetros pode ser reduzido ao espaço de Moduli do toro plano. Mudanças dentro de uma mesma classe de equivalência por biholomorfismos podem alterar apenas a classe de homotopia das curvas de nível.
Title in English
Vortex dynamics on surfaces with applications to the problem of two vortices in a flat torus
Keywords in English
Complex potential
Euler's equation
Green's function
Moduli
Riemann surfaces
Robin's function
Stream function
Teichmüller
Torus
Unit disc
Velocity potential
Vortex
Abstract in English
In this thesis the equations for the motion of vortices on Riemannian surfaces is studied. Using conservation of momentum and physical arguments, the classical equations of Hally and Boatto/Koiller are recovered. Then the localization result for the Euler's equation with flat metric (Marchioro and Pulvirenti) and the determination of the Green's and Robin's functions on plane domains are revisited in the context of Riemannian surfaces. On a second part of the thesis two examples are analyzed. At first the dynamics of a passive tracer in the unit disk on the flat plane with constant background vorticity. At second the dynamics of two vortices on flat tori. This last system is integrable. The dynamics is determined by the level sets of the Green's function which depends on the modular parameter of the torus. The full bifurcation diagram of the system as a function of the module parameter is determined.
 
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Publishing Date
2017-04-11
 
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