Neste trabalho, nosso objetivo é realizar o tratamento analítico e numérico de problemas de equações diferenciais parciais parabólicas com condições de contorno dinâmicas. Seja Rd, d = 1, . . . , n um domínio limitado e suave. O exemplo-modelo que utilizaremos é denominado problema de Wentzell, e pode ser declarado da seguinte forma: dados fL2([0,[,L2()),u0 H1()e,>0, encontrar u:×[0,[R talque uu = f em ×[0,[, t Veremos que há uma única solução fraca u L2 [0, [; H1() H1 [0, [; L2() L2() , para a formulação fraca do problema de Wentzell: \int u·vdx+Z vu ds+ \int vtu dx+Z tuv ds = \int fvdx, vH1(), para cada t [0,[ fixado. Cabe destacar que também abordaremos a contrapartida estacionária do problema de Wentzell. Inicialmente, para o tratamento analítico, apresentaremos alguns resultados da teoria de espaços de Hilbert e Sobolev a fim de obter a existência e unicidade de soluções fracas para os problemas propostos. Após obter a solução fraca, discretizaremos os problemas (com uma e duas dimensões espaciais) para obter soluções aproximadas por meio do método dos elementos finitos. Serão desenvolvidos em Python os métodos Ritz-Rayleigh para problemas elípticos e o método de Crank-Nicolson para problemas parabólicos, tanto em uma quanto em duas dimensões. Em duas dimensões, utilizaremos a biblioteca open-source FEniCS. Por fim, a análise numérica está intrinsecamente relacionada ao estudo do erro e, consequentemente, da ordem de convergência. Demonstraremos os teoremas de ordem de convergência dos métodos aplicados aos problemas unidimensionais e ao problema bidimensional elíptico.

In this work, our objective is to perform the analytical and numerical treatment of problems involving parabolic partial differential equations with dynamic boundary conditions. Let Rd, d = 1,...,n be a bounded and smooth domain. The model example we will use is called the Wentzell problem, and it can be stated as follows: given f L2([0, [, L2()), u0 H1(),and,>0,findu:×[0,[Rsuchthat uu = fin×[0,[, t We will show that there exists a unique weak solution u L2 [0, [; H1() H1 [0, [; L2() L2() , for the weak formulation of the Wentzell problem: Z u·vdx+Z vuds+Z vtudx+Z tuvds=Z fvdx, vH1(), for each fixed t [0,[. It is worth noting that we will also address the stationary counterpart of the Wentzell problem. Initially, for the analytical treatment, we will present some results from the theory of Hilbert and Sobolev spaces in order to obtain the existence and uniqueness of weak solutions for the proposed problems. After obtaining the weak solution, we will discretize the problems (with one and two spatial dimensions) to obtain approximate solutions using the finite element method. We will implement the Ritz-Rayleigh methods for elliptic problems and the Crank-Nicolson method for parabolic problems in Python, both in one and two spatial dimensions. In two dimensions, we will use the open-source FEniCS library. Finally, the numerical analysis is intrinsically related to the study of error and, consequently, the order of convergence. We will demonstrate convergence order theorems for the methods applied to one-dimensional problems and the two-dimensional elliptic problem.