Dissertação de Mestrado

Neste trabalho, definimos uma generalização da constante de Golomb-Dickman por meio da introdução de um parâmetro 𝛳 na fórmula de Cauchy que descreve a distribuição de ciclos em permutações aleatórias. O objetivo principal é analisar como a introdução desse parâmetro altera o comportamento assintótico da distribuição do ciclo de maior comprimento e determinar uma expressão analítica para a constante generalizada. A metodologia utilizada se baseia na construção de funções geradoras, obtenção de termos dominantes em forma fechada e aplicação de métodos tauberianos para recuperar a dependência assintótica em relação ao número n. Os resultados teóricos obtidos demonstram que a constante generalizada preserva certas propriedades estruturais da constante clássica, ao mesmo tempo em que revela uma nova dependência funcional em 𝛳. Além da análise teórica, são apresentadas simulações computacionais desenvolvidas em Python, que corroboram os resultados analíticos e permitem explorar numericamente diferentes regimes do parâmetro 𝛳. As conclusões indicam que a generalização proposta mantém a coerência com o comportamento conhecido para 𝛳 = 1 e abre caminho para novos estudos sobre distribuições ponderadas em estruturas combinatórias.

In this work we define a generalization of the Golomb-Dickman constant by introducing a parameter 𝛳 into the Cauchy formula that describes the cycle length distribution in random permutations. The main objective is to analyze how this parameter affects the asymptotic behavior of the distribution and to derive a closed-form expression for the generalized constant. The methodology involves the construction of generating functions, the extraction of leading terms in closed form, and the application of Tauberian theorems to recover the asymptotic dependence on the parameter n. The theoretical results show that the generalized constant preserves certain structural properties of the classical Golomb-Dickman constant, while revealing a new functional dependence on 𝛳. In addition to the theoretical analysis, computational simulations implemented in Python are presented, which support the analytical results and allow for numerical exploration of different regimes of the parameter 𝛳. The conclusions indicate that the proposed generalization is consistent with known behavior when 𝛳 = 1 and opens possibilities for further studies on weighted distributions in combinatorial structures.