Dissertação de Mestrado

The efficient computation of the action of the matrix exponential is fundamental to the numerical solution of linear and semilinear systems arising from the discretization of ordinary and partial differential equations. Exponential integrators offer significant advantages for stiff and high-dimensional problems; however, their practical effectiveness depends on algorithms capable of evaluating combinations of the action of the matrix exponential and related functions on vectors in a stable and scalable manner. This work aims to analyze, implement, and evaluate the performance of the KIOPS method, proposed in Stéphane Gaudreault et al., 2018, highlighting its theoretical foundations, computational formulation, and efficiency in scenarios involving large scale matrices and differential operators. The theoretical discussion includes the general framework of exponential integrators, introducing the variation of constants repre- sentation and the role of the -functions, which naturally arise in temporal discretization and enable the representation of the action of the matrix exponential and its associated terms on vectors. This is followed by a review of previous exponential methods that approximate this action using Krylov subspace techniques. Subsequently, the KIOPS method is presented as an extension of these approaches, incorporating adaptive strategies for selecting the Krylov subspace dimension, reduced orthogonalization techniques, and error estimators derived from the Krylov structure itself. Numerical experiments are conducted using dense matrices with distinct spectral characteristics, representing different dynamical regimes encountered in practical applications. These experiments allow for a robust evaluation of KIOPS performance in comparison with a classical dense approach for computing the matrix exponential. Applications to the one and two dimensional wave equations are also investigated, where the operator resulting from spatial discretization provides an appropriate setting to assess the benefits of the KIOPS method. The results show that KIOPS achieves substantial performance gains in terms of execution time, particularly for problems involving large matrices or spectra that require strong damping or high temporal resolution. The method is observed to maintain accuracy within a prescribed tolerance while significantly reducing orthogonalization costs through the combined use of adaptive mechanisms and projections onto smaller subspaces. In applications involving the two dimensional wave equation, KIOPS allows for considerably larger time steps than those feasible with traditional methods under the same accuracy requirements, demonstrating its robustness in stiff and ill-conditioned problems. The study concludes that KIOPS represents an efficient, scalable, and numerically reliable alternative for exponential integration, offering significant improvements over conventional approaches when applied to high-dimensional problems

O cálculo eficiente da ação da exponencial de matriz é fundamental para a solução numérica de siste- mas lineares e semilineares provenientes da discretização de Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais. Integradores exponenciais oferecem vantagens significativas para problemas rígidos e de alta dimensão, mas sua eficácia prática depende de algoritmos capazes de avaliar combinações da ação da exponencial de matriz e de funções associadas sobre vetores de maneira estável e escalável. Este trabalho tem como objetivo analisar, implementar e avaliar o desempenho do método KIOPS, proposto em Stéphane Gaudreault et al., 2018, destacando seus fundamentos teóricos, formulação computa- cional e eficiência em cenários que envolvem matrizes de grande porte e operadores diferenciais. A discussão teórica inclui o arcabouço geral dos integradores exponenciais, introduzindo a representação por variação das constantes e o papel das funções , que surgem naturalmente na discretização temporal e permitem expressar a ação da exponencial de matriz e de seus termos associados sobre vetores, seguida de um exame de métodos exponenciais anteriores utilizados para aproximar essa ação via subespaços de Krylov. Em seguida, o método KIOPS é apresentado como uma extensão dessas abordagens, incorporando estratégias adaptativas para seleção da dimensão do subespaço, técnicas reduzidas de ortogonalização e estimadores de erro derivados da própria estrutura de Krylov. Foram realizados experimentos numéricos com matrizes densas que exibem características espectrais distintas, representando diferentes regimes dinâmicos encontrados em aplicações práticas. Esses experimentos permitem uma avaliação robusta do desempenho do KIOPS em comparação tanto com uma abordagem densa clássica para o cálculo da exponencial de matriz. Aplicações às equações de onda unidimensional e bidimensional também foram investigadas, onde o operador resultante da discretização espacial é ideal para analisar os benefícios do método KIOPS. Os resultados mostram que o KIOPS alcança ganhos substanciais de desempenho em tempo de execução, particularmente em problemas que envolvem matrizes grandes ou espectros que exigem forte amortecimento ou alta resolução temporal. Observou-se que o método mantém a precisão dentro de uma tolerância prescrita, ao mesmo tempo em que reduz significativamente os custos de ortogonalização por meio do uso combinado de mecanismos adaptativos e projeções em subespaços menores. Em aplicações envolvendo a equação de onda bidimensional, o KIOPS permitiu passos de tempo conside- ravelmente maiores do que aqueles viáveis com métodos tradicionais sob os mesmos requisitos de precisão, demonstrando sua robustez em problemas rígidos e mal condicionados. O estudo conclui que o KIOPS representa uma alternativa eficiente, escalável e numericamente confiável para integração exponencial, oferecendo melhorias significativas em relação às abordagens convencionais quando aplicado a problemas de alta dimensão.