Tese de Doutorado

This thesis presents a shape optimization method applied to the reconstruction of sharp interfaces in seismic imaging through Full Waveform Inversion (FWI). The objective of seismic imaging is to construct an image that represents the internal structure of the Earth in a given region. To this end, geophysical methods based on seismic wave propagation are employed, where wave reflections and transmissions are recorded in the form of seismograms. These data are then used to reconstruct velocity fields through inversion procedures formulated as optimization problems. In this work, the inversion problem is addressed from the perspective of shape optimization, which consists of minimizing a cost functional that depends on the geometry of interfaces within the wave propagation domain. The minimization procedure relies on the computation of shape derivatives, obtained by means of the averaged adjoint method. The considered minimization problem is constrained by the elastic wave equation in the velocitystress formulation. Thus, the solution of the problem consists in determining a velocity field in which elastic waves propagate while satisfying this governing equation. We establish conditions for existence and uniqueness of solutions to the forward problem and analyze the variational problem associated with the formulation of the minimization problem. Furthermore, we investigate the application of shape optimization theory particularly the averaged adjoint method within the context of FWI for seismic imaging procedures, with potential applications in natural resource exploration, such as petroleum extraction. Considering the computational challenges involved in solving high-complexity problems, this work also discusses parallelization strategies for the numerical treatment of the model. We provide an overview of parallel computing techniques and their implementation in Python as well as their application to the numerical simulations developed in this study.

Esta tese apresenta um método de otimização de forma aplicado à reconstrução de interfaces nítidas no processo de imageamento sísmico por meio da Inversão da Forma de Onda Completa. O objetivo do imageamento sísmico é construir uma imagem que represente a estrutura interna da Terra em uma determinada região. Para isso, utilizam-se métodos geofísicos baseados na propagação de ondas sísmicas, cujas reflexões e transmissões são registradas na forma de sismogramas. Esses dados são então empregados na reconstrução de campos de velocidade por meio de procedimentos de inversão formulados como problemas de otimização. Nesta tese, o problema de inversão é abordado sob a perspectiva da otimização de forma, que consiste na minimização de um funcional de custo dependente da geometria de interfaces presentes no domínio de propagação das ondas. O procedimento de minimização baseia-se no cálculo de derivadas de forma, obtidas por meio do método do adjunto médio. O problema de minimização considerado tem como restrição a equação da onda elástica na formulação velocidade-tensão. Assim, a solução do problema consiste na determinação de um campo de velocidades no qual as ondas elásticas se propagam satisfazendo essa equação. Estabelecemos condições de existência e unicidade das soluções do problema direto e analisamos o problema variacional associado à formulação do problema de minimização. Além disso, investigamos a aplicação da teoria da otimização de forma em especial do método do adjunto médio no contexto da FWI para procedimentos de imageamento sísmico, com potencial aplicação na exploração de recursos naturais, como a extração de petróleo. Considerando as limitações relacionadas a recursos computacionais na resolução de problemas de alta complexidade, o trabalho também discute estratégias de paralelização para o tratamento numérico do problema. Apresentamos um panorama geral da paralelização e sua implementação em Python, bem como sua aplicação nas simulações numéricas desenvolvidas.