Neste trabalho estudamos existência de controles ótimos para um sistema governado por uma Equação Integral Linear de Volterra-Stieljes agindo em espaços de Banach X com estados e controles no conjunto das funções regradas de [0,T] em X, e considerando funcionais do tipo linear no seu espaço dual. A integral considerada é do tipo Dushinik e o núcleo de Volterra K pertence ao espaço de todos os operadores de semivariação uniformemente limitada em X que são fracamente regrados. Também levamos em conta uma restrição linear nas soluções, que têm uma representação integral. Uma caracterização geométrica precisa dos conjuntos de atingibilidade leva-nos a um Princípio do Máximo. Finalmente , fazemos aplicações deste resultado

In this work we study the existence of optimal controls for a system driven by a Volterra-Stieltjes Linear Integral equation acting on Banach spaces X with states and controls maps racing in the set of all regulated functions from [0,T] into X, and considering functional of linear in its dual space. The integral considered is the Dushinik type and the Volterra's kernel belongs to the space of all uniformly bounded semivariatiopn operators in X that are weakly regulated. We are also taking on consideration a linear constraint on the solution set which is represented in a integral profile. The precise characterization of the attainable sets in the processs will lead us to the synthesis of a Maximum Principle. Finally, applications of the result are take on care