Já foi provado por diversos autores, que para sistemas Hamiltonianos em variedades de dimensão 4, a dinâmica na vizinhança de órbitas homoclínicas a equilíbrios do tipo sela-centro é essencialmente determinada por uma família a 2 parâmetros deaplicações do tipo 'twist' no plano, família esta invariante por uma certa simetria de dilatação. Usando essa simetria é possível considerar essa família de aplicações como definida no toro. Para essas aplicações no toro. que já não preservammais a medidade Lebesgue, foi provada a existência de diversas tangências homoclínicas. Como consequência do desdobramento genérico destas, as seguintes estruturas aparecem: - diversos pontos periódicos do tipo elíptico, - infinitos poços, -atratores do tipo Hénon. As duas estruturas representam rotas de escape de pontos em vizinhanças arbitrariamente pequenas da órbita homoclínica original. Também, para uma classe especial de aplicações do tipo 'twist' no toro, que inclue aquelaacima descrita e a conhecida aplicação 'Standard', foi provado que pontos peródicos de um novo tipo, com um 'número de rotação vertical' (N.R.V.) racional, existem, desde que não haja mais círculos rotacionais invariantes (C.R.I.). A existênciade órbitas quase-periódicas associadas a N.R.V.'s irracionais e um teorema sobre a ordem na qual essas órbitas aparecem (elas aparecem com N.R.V. crescente) também foram provados

It has been proved by several autors that, for Hamiltonian systems in 4-dimensional manifolds, the dynamics near homoclinic orbits to saddle-center equilibrium is essentially determined by a 2-dimensional. 2-parameter family of Twist Maps, whichis invariant under some dilatation symmetry. Using this symmetry it is possible to consider this family of maps as defined on the torus, that is not Lebesgue measure preserving anymore, the existence of many homoclinic tangencies has beenproved. As a consequence of their generic unfolding the following structures appear: - many elliptic periodic points, - infinitely many thinks, - Hénon-like strange attractors. The last two structures represent escaping routes from the originalhomoclinic orbit. Also, for a special class of Twist maps in the torus that includes the above one and the well-know Standard Map it has been proved that periodic orbits of a new type with a rational 'vertical rotation number' (V.R.N.) actuallyexist, provided that there is no rotational invariant circle (R.I.C.). So, for a conservative family of Twist maps in the torus (that has a generating function). The break-up of the last R.I.C. is associated to the appearance of solutions toinfinitely many variational problems, that had no solution while there was at least one R.I.C. The existence of quasi-periodic orbits associated to irrational V.R.N. and a theorem on the order of appearence of these orbits (they appear withincreasing V.R.N.) have also been proved