Este trabalho é uma generalização dos resultados do artigo Period Function for a Class of Hamiltonian Systems [CGM00], que estuda a função período para a classe de sistemas Hamiltonianos analíticos x= -H IND.Y, y=H IND.X cim hamiltoniana natural H (x, y) = F(x) +G(y) onde F é a energia cinética e G a energia potencial, e a origem é um centro não degenaro. Mais concretamente, se T(h) denota o peíodo da órbita periódica contida na curva de nível (H(x, y) = h, em [CGM00] é resolvido o problema inverso de caracteruzar todos os sistemas com umm dda função T analíti em sero. Generalizamos tal resultado para centros degenerados, caracterizando todos os sistemas hamiltonianos naturais analíticos em que G pode ter mínimo degenerado em sero, com uma dada função

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