Doctoral Thesis

This thesis proposes a mathematical framework based on impulsive differential equations for the study, analysis, and optimization of periodic population introduction strategies aimed at the replacement or suppression of resident populations. The work investigates how impulsive interventions can be designed to ensure the persistence of the introduced population, minimize operational costs, and preserve the effectiveness of the strategies under ecological constraints and environmental disturbances. The main theoretical contribution consists of the construction and analysis of a class of impulsive competition models in which only one of the populations is subject to periodic releases. By adapting a previously established continuous model, analytical results are obtained concerning the positivity, existence, and uniqueness of solutions, as well as sufficient conditions for global stability, persistence of the introduced population, and elimination of the resident population. These results provide mathematical criteria capable of guiding population replacement strategies based on discrete interventions. Building upon this framework, impulsive optimal control problems are formulated to determine release strategies that minimize the total number of introduced individuals without compromising the success of the intervention. The model is subsequently extended to incorporate species-specific carrying capacities, allowing for a novel investigation of how ecological limitations influence the intensity, frequency, and temporal distribution of optimal releases. The results highlight the importance of environmental structure in the design of efficient population management policies. As a biological application, the thesis proposes a new model for the dynamics of Aedes aegypti popula- tions infected with Wolbachia and subjected simultaneously to periodic releases and temperature-induced infection loss. Unlike existing approaches, both processes are described through impulsive mechanisms, enabling a more realistic representation of release programs conducted in environments exposed to extreme thermal events. In this context, threshold conditions are derived for infection persistence, as well as con- ditions for the existence and stability of periodic solutions. A comparative analysis is also performed for the Wolbachia strains wMelPop, wMel, and wAlbB. The results demonstrate how differences in thermal tolerance and fitness costs affect infection maintenance after the release program has ended. Overall, the thesis integrates the qualitative analysis of impulsive systems, optimal control theory, and applied biological modeling, yielding new mathematical and methodological results for population replacement problems. The proposed framework is sufficiently general to be adapted to a wide range of ecological and epidemiological systems, providing quantitative tools for the planning and evaluation of vector control and population management strategies.

Esta tese propõe um arcabouço matemático baseado em equações diferenciais impulsivas para o estudo, a análise e a otimização de estratégias periódicas de introdução populacional voltadas à substituição ou à supressão de populações residentes. O trabalho investiga como intervenções impulsivas podem ser planejadas de forma a garantir a persistência da população introduzida, minimizar os custos operacionais e preservar a efetividade das estratégias mesmo diante de restrições ecológicas e de perturbações ambientais. A principal contribuição teórica consiste na construção e análise de uma classe de modelos impulsivos de competição nos quais apenas uma das populações é submetida a liberações periódicas. A partir da adaptação de um modelo contínuo previamente estabelecido, são obtidos resultados analíticos relativos à positividade, existência e unicidade de soluções, bem como condições suficientes para estabilidade global, persistência da população introduzida e eliminação da população residente. Esses resultados estabelecem critérios matemáticos capazes de orientar estratégias de substituição populacional baseadas em intervenções discretas. Com base nesse arcabouço, são formulados problemas de controle ótimo impulsivo visando determinar estratégias de liberação que minimizem o número total de indivíduos introduzidos sem comprometer o sucesso da intervenção. O modelo é posteriormente estendido para incorporar capacidades de suporte específicas das espécies, permitindo investigar de forma inédita como limitações ecológicas influenciam a intensidade, a frequência e a distribuição temporal das liberações ótimas. Os resultados revelam a importância da estrutura ambiental na definição de políticas eficientes de manejo populacional. Como aplicação biológica, a tese propõe um novo modelo para a dinâmica de populações de Aedes aegypti infectadas com Wolbachia submetidas simultaneamente a liberações periódicas e à perda de infecção induzida pela temperatura. Diferentemente das abordagens existentes, ambos os processos são descritos por mecanismos impulsivos, possibilitando representar de forma mais realista programas de liberação realizados em ambientes sujeitos a eventos térmicos extremos. Nesse contexto, são obtidas condições limiares para persistência da infecção, existência e estabilidade de soluções periódicas, além de uma análise comparativa entre as cepas wMelPop, wMel e wAlbB. Os resultados evidenciam como diferenças de tolerância térmica e custos de aptidão afetam a manutenção da infecção após o encerramento das liberações. De forma geral, a tese integra análise qualitativa de sistemas impulsivos, teoria do controle ótimo e modelagem biológica aplicada, produzindo novos resultados matemáticos e metodológicos para problemas de substituição populacional. O arcabouço desenvolvido é suficientemente geral para ser adaptado a diferentes sistemas ecológicos e epidemiológicos, fornecendo ferramentas quantitativas para o planejamento e a avaliação de estratégias de controle vetorial e manejo populacional.