Nesta dissertação, definimos a geometria hiperbólica usando o disco de Poincaré (D2) e o semiplano superior (H2) com as respectivas propriedades. Além disso, apresentamos algumas funções e relações importantes da geometria hiperbólica; conceituamos as superfícies de Riemann, analisando suas propriedades e representações; estudamos o espaço de Teichmüller com a devida decomposição em calças. Esses temas são ferramentas necessárias para atingir o objetivo da dissertação: definir as coordenadas de Fenchel Nielsen como um sistema de coordenadas locais do espaço de Teichmüller Tg.

In this dissertation, we defined the hyperbolic geometry using the Poincares disk (D2) and upper half-plane (H2) with its properties. Besides, we presented some functions and important relations of the hyperbolic geometry; we conceptualize the Riemann surfaces, analyzing its properties and representations; we studied the Teichmüller Space with proper decomposition pants. These themes are essential tools to reach the goal of the work: The definition of the Fenchel Nielsen coordenates as local coordinate system of the Teichmüller space Tg.