Neste trabalho estudamos o comportamento assintótico (forma assintótica e transição de fase) de um sistema crescente de passeios aleatórios simples, cuja dinâmica pode ser descrita do seguinte modo: inicialmente temos um número aleatório de partículas em cada sítio de um grafo G. Um sítio arbitrário de G é destacado dos demais e denominado, a partir de então, sua raíz e denotado pelo símbolo 0. Todas as partículas estão ativas (acordadas). A cada novo instante de tempo, cada uma das partículas ativas morre com probabilidade 1-p, independentemente das demais. Uma vez que uma partícula ativa sobrevive, ela salta sobre um sítio vizinho mais próximo, que é escolhido com probabilidade uniforme. Assim, cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples a tempo discreto em G, enquanto estiver viva. Durante o seu percurso, uma partícula ativa acorda todas as partículas dormentes que encontra pelo caminho e estas começam a se mover. Não há interação entre partículas ativas

We study the asymptotic behaviour, namely asymptotic shape and existence of phase transition, of a growing system of random walks on graphs. The dynamics of the model can be roughly outlined as follows. Initially there is a random number of particles at each site of a graph G. A site of G is singled out and called its root. All particles are sleeping at time zero, except for those that might be placed at the root, which are active. At each instant of time, each active particle might die with probability (1-p). Once a particle survives, it jumps on some of its nearest neighbors, chosen with uniform probability, performing independent discrete time simple random walk (SRW) on G. Up to the time a particle dies, it activates all sleeping particles it hits along its way. From the moment they are activated on, every such particle starts to walk, performing exactly the same dynamics, independent of everything else