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Doctoral Thesis
DOI
10.11606/T.55.2002.tde-03062015-144146
Document
Author
Full name
Maria Alice Bertolim
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Carlos, 2002
Supervisor
Committee
Rezende, Ketty Abaroa de (President)
Carbinatto, Maria do Carmo
Mello, Maria Herminia de Paula Leite
Negreiros, Caio Jose Colletti
Teixeira, Marco Antonio
Title in Portuguese
Grafos de Lyapunov, desigualdades de Poincaré-Hopf e de Morse
Keywords in Portuguese
Não disponível
Abstract in Portuguese
Grafos de Lyapunov carregam informações dinâmicas de fluxos do tipo gradiente bem como informações topológicas do espaço de fase correspondente, o qual tomamos como uma variedade orientável fechada de dimensão n. Neste trabalho, os grafos de Lyapunov L(h0,... ,hn, K.) considerados podem representar fluxos suaves em variedades orientáveis fechadas de dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K. Mostramos que as desigualdades de Poincaré-Hopf são condições necessárias e suficientes para um grafo abstrato de Lyapunov L(h0,... ,hn, K) ser continuado a um grafo abstrato de Lyapunov do tipo Morse com cycle rank maior ou igual a K. A continuação, que é apresentada por meio de um algoritmo, é mostrada ser única em dimensões dois e três. Em outras dimensões, apresentamos números exatos de possíveis continuações de L(h0,.. , hn, K). Mostramos também que um grafo abstrato de Lyapunov em dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K, satisfaz as desigualdades de Poincaré-Hopf se, e somente se, satisfaz as desigualdades de Morse e o primeiro número de Betti gamma;1 é pelo menos K. Definimos o politopo de Morse, PK (h0,..., hn), como sendo o casco convexo da coleção de todos os vetores de números de Betti obtidos das desigualdades de Morse e da desigualdade γ 1 ≥ K para dados pré-fixados (h0,..., h n, K). Finalmente, associamos um politopo de Morse a uma família de grafos de Lyapunov L(h0,... ,hn, K) e estabelecemos propriedades geométricas deste politopo.
Title in English
Lyapunov graphs and inequalities of Poincaré-Hopf and Morse
Keywords in English
Not available
Abstract in English
Lyapunov graphs carry dynamical information of gradient-like flows as well as topological information of its phase space which is taken to be a closed orientable n-manifold. In this thesis the Lyapunov graphs L(h0,..., hn, K) considered may represent smooth flows on closed orientable n-manifolds, n ≥ 2, with cycle number K. We will show that the Poincaré-Hopf inequalities are necessary and sufficient conditions for an abstract Lyapunov graph L(h0,..., hn, K) to be continued to an abstract Lyapunov graph of Morse type with cycle rank greater or equal to K. The continuation which is presented by means of a constructive algorithm, is shown to be unique in dimensions two and three. In ali other dimensions, the exact number of possible continuations of L are presented. We show that an abstract Lyapunov graph L(h0,..., hn, K) in dimension n greater than or equal to two, with cycle number K, satisfies the Poincaré-Hopf inequalities if and only if it satisfies the Morse inequalities and the first Betti number γ1 is at least equal to K. The convex hull of the collection of ali Betti number vectors which satisfy the Morse inequalities and the inequality γ 1 ≥ K for a pre-assigned data determines a Morse polytope PK (h0....,hn). Finally, we associate a Morse polytope, PK..., hn) to a family of Lyapunov graphs L(h0 ... hh, K) and determine geometrical properties of this polytope.
 
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Publishing Date
2015-06-16
 
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