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Doctoral Thesis
DOI
10.11606/T.55.2014.tde-06062014-094208
Document
Author
Full name
Nazira Hanna Harb
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Carlos, 2014
Supervisor
Committee
Tahzibi, Ali (President)
Fernandes, Marco Cezar Barbosa
Forger, Frank Michael
Mencattini, Igor
Ruffino, Fabio Ferrari
Title in Portuguese
Sobre os produtos de Stratonovich e de Berezin de símbolos na esfera
Keywords in Portuguese
Stratonovich Berezin
Abstract in Portuguese
Esta tese versa sobre os produtos de Stratonovich e de Berezin de funções na esfera 'S POT. 2'. Cada um destes produtos é definido atravéz de uma correspondência de símbolos, que é uma aplicação linear bijetiva entre operadores lineares num espaço de Hilbert complexo de dimensão n + 1, ou seja matrizes complexas (n + 1) × (n + 1), e polinômios complexos de grau próprio n definidos na 2-esfera, PolyC('S POT. 2')n, satisfazendo algumas propriedades básicas, como equivariância pela ação do grupo de rotações SO(3), preservação das estruturas reais e normalização [12]. Mais geralmente, toda correspondência define um produto associativo mas não comutativo em PolyC('S POT. 2')n induzido do produto de operadores, chamado de produto twisted em PolyC('S POT. '2)n. Cada um destes produtos twisted, por sua vez, pode ser escrito na forma integral f g(n) = 'INT. INF. S POT. 2 X 'S POT. 2' f('n IND. 1'') g ('n IND. 2'), n) L ('n IND. 1', 'n IND.2', n) 'dn IND.1' 'dn IND. 2, onde f, g PolyC('S POT. 2)n, 'n IND. 1',' n IND. 2', n 'S POT. 2'. Em tal representação integral, todas as propriedades do produto twisted são convertidas em propriedades do trikernel integral L : 'S POT. 2' × 'S POT. 2' × 'S POT. 2' C. Os produtos twisted estudados nesta tese são os produtos induzidos pela correspondência padrão de Stratonovich e a correspondência padrão de Berezin, respectivamente, que num certo limite assintótico 2j = n definem deformações estritas da álgebra de Poisson de 'S POT. 2' [12]. Para cada um deste dois produtos, denotados por 'n SOB. 1' e 'n SOB. b' respectivamente, seu trikernel integral é denotado por L 'SOB. j 1' e L 'j SOB. ~b, respectivamente. A primeira parte desta tese consistiu em desenvolver fórmulas mais tratáveis para L 'j SOB. 1' e L j SOB. b' nos casos de número de spin j = 1/2, 1, 3/2, 2, fórmulas estas escritas em termos de funções de dois e de três pontos, invariantes por SO(3), como produtos escalares e determinantes. Nossa esperança inicial era de que pudéssemos encontar padrões que nos permitissem inferir fórmulas fechadas para cada um destes trikernels, válidas para qualquer j, ou pelo menos que nos permitissem inferir fórmulas assintóticas para estes trikernels quando 2j = n . Porém, o grau de complexidade das fórmulas desenvolvidas se mostrou fortemente crescente com j, frustrando nossas expectativas iniciais. Partimos então para uma exploração preliminar de um tipo de aproximação assintótica destes produtos de certas funções oscilatórias na esfera. Mais precisamente, na segunda parte desta tese, preparamos e estudamos preliminarmente o produto de Stratonovich e o produto de Berezin (assim como o produto pontual) de dois harmônicos esféricos, 'Y POT. m1 INF. l1' e 'Y POT. m2 INF. l2 PolyC('S POT. 2')n, no limite assintótico quando tanto 'l IND. 1' como 'l IND. 2' tendem a infinito linearmente com n (mantendo 'l IND. i' n). Este tipo de assintótica para tais produtos, que faz parte do que chamamos mais geralmente de high-l asymptotics, difere muito do tipo de assintótica estudada de forma detalhada em [12], na qual n , mas 'l IND. 1' e 'l IND. 2' são mantidos finitos. Então, a partir de um exemplo particular para nossa exploração preliminar, levantamos uma conjectura sobre como estes produtos se comparam no limite assintótico quando 'l IND. 1' e 'l IND. 2' tendem para infinito linearmente com o número de spin j
Title in English
About the Stratonovich and Berezin product of symbol in the sphere
Keywords in English
Stratonovich Beezin
Abstract in English
This thesis is about the Stratonovich and the Berezin products of functions on the 2-sphere. Each one of these products is defined via a spin-j symbol correspondence, a linear bijective map from the space of operators on an (n + 1)-dimensional complex Hilbert Space, i.e. (n + 1) × (n + 1) complex matrices, and the space of complex polynomials on 'S POT. 2' of proper degree n, denoted PolyC('S POT. 2')n, satisfying certain basic properties like equivariance under the action of SO(3), preservation of real structures and normalization [12]. More generally, every spin-j symbol correspondence defines an associative noncommutative product on PolyC('S POT. 2')n induced from the operator product, which is called a twisted product on PolyC('S POT. 2')n. Each twisted product can be written in integral form as f g(n) = 'INT. INF. S POT. 2 X 'S POT. 2' f('n IND. 1'') g ('n IND. 2'), n) L ('n IND. 1', 'n IND.2', n) 'dn IND.1' 'dn IND. 2, where f, g PolyC('S POT. 2) ' > OR =' n, 'n IND. 1',' n IND. 2', n 'IT BELONGS' 'S POT. 2'. In such and an integral representation, all properties of the twisted product are translated to properties of its integral trikernel L : 'S POT. 2' × 'S POT. 2' × 'S POT. 2' 'ARROW' C. The twisted products studied in this thesis are the ones obtained via the standard Stratonovich-Weyl and the standard Berezin symbol correspondences, respectively, which in a certain asymptotic limit 2j = n 'ARROW' 'INFINITY' define strict deformation quantizations of 'S POT. 2', i.e. strict deformations of the Poisson algebra of 'S POT. 2' [12]. For 10 each of these two products on PolyC('S POT. 2') '< OR =' n, denoted by * 'n SOB. 1' and 'n SOB. b' respectively, its integral trikernel is denoted by L'j SOB. 1' and L'j SOB. b' , respectively. In the first part of this thesis, we obtained better formulae for these trikernels, for values of spin number j = 1/2, 1/3/1, 2. These formulas are written in terms of SO(3)-invariant functions of two and three points on 'S POT. 2', like scalar products and determinants. We initially hoped to be able to obtain closed formulae for these trikernels which would be valid for every j, or at least be able to infer asymptotic formulas for these trikernels when 2j = n 'ARROW' ' INFINITY' . However, the degree of complexity of the formulae we have obtained increases strongly with j, frustrating our initial expectations. We thus started on a preliminary investigation of a kind of asymptotic approximation for these products of certain oscillatory functions on the sphere. More precisely, in the second part of this thesis, we prepared and preliminarily studied the Stratonovich product and the Berezin product (as well as the pointwise product) of spherical harmonics Y 'm1 SOB. l1' and Y 'm2 SOB. l2' PolyC('S POT. 2')n, in the asymptotic limit when l1 and l2 tend to infinity linearly with n (keeping 'l IND. i' '< OR =' n). This kind of asymptotics for these products, belonging to what we more generally callhigh-l asymptotics, differs drastically from the kind of asymptotics studied in detail in [12], in which n 'ARROW' 'INFINITY' but 'l IND. 1' and 'l IND. 2' are kept finite. Then, based on a particular example of our preliminary exploration, we advanced a conjecture on how these products behave and compare with each other, in the asymptotic limit when 'l IND. '1' and 'l IND. 2' tend to infinity linearly with the spin number j
 
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Publishing Date
2014-06-06
 
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