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Thèse de Doctorat
DOI
10.11606/T.55.2014.tde-17032015-113226
Document
Auteur
Nom complet
Christian Manuel Surco Chuño
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Carlos, 2014
Directeur
Jury
Fu, Ma To (Président)
Costa, Éder Rítis Aragão
Doronin, Gleb Germanovitch
Ferrel, Juan Bautista Limaco
Rubio, Pedro Marin
Titre en portugais
Atratores para equações de ondas em domínios de fronteira móvel
Mots-clés en portugais
Atratores
Fronteira móvel
Pullback
Resumé en portugais
Este trabalho contém um estudo sobre equações de ondas fracamente dissipativas definidas em domínios de fronteira móvel ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ ^Dτ, onde ^Dτ = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . Dizemos que domínio Dτ possui fronteira móvel se admitirmos que a fronteira Γt de de Ot varia em relação a t. Nossa contribuição é dividida em três etapas. 1 - Provamos que o problema munido da condição de fronteira de Dirichlet é bem posto no sentido de Hadamard (existência global, unicidade e dependência contínua dos dados) para soluções fortes e fracas. Nessa etapa utilizamos um método clássico que transforma o domínio dependente de t em um domínio fixo. Como consequência observamos que o sistema é essencialmente não autônomo. 2 - Buscamos uma teoria de sistemas dinâmicos não autônomos para estudar o operador solução do problema como um processo U(t; τ) : Xτ → Xτ, t≥ τ, definido em espaços de fase Xt = H01(Ot) × L2(Ot) que são dependentes do tempo t. 3 - No contexto da dinâmica de longo prazo encontramos hipóteses para garantir que o sistema dinâmico associado ao problema de ondas em domínios de fronteira móvel possui um atrator pullback. Basicamente admitimos que o domínio é crescente e "time-like". Salientamos que o nosso trabalho é o primeiro que estuda tais equações de ondas sob o ponto de vista de sistemas dinâmicos não-autônomos. Para equações parabólicas, resultados no mesmo contexto foram obtidos anteriormente por Kloeden, Marín-Rubio e Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] e Kloeden, Real e Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. Entretanto o nosso problema á hiperbólico e nã possui a regularidade das equações parabólicas.
Titre en anglais
Attractors for a weakly damped semilinear wave equation on time-varying domains
Mots-clés en anglais
Attractors
Noncylindrical
Wave equation
Resumé en anglais
In this work we study a weakly dissipative wave equation defined in domains with moving boundary ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ Dτ, where D&tau> = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . We says that a domain D&tau has moving boundary if the boundary &Gama;t of Ot varies with respect to t. Our contribution is threefold. 1 - We prove that the wave equation equipped with Dirichlet boundary condition is well-posed in the sense of Hadamard (global existence, uniqueness and continuous dependence with respect to data) for weak and strong solutions. This is done by using a classical argument that transforms the time dependent domain in a fixed domain. As a consequence we see that the problem is essentially non-autonomous. 2 -We find a theory of non-autonomous dynamical systems in order to study the solution operator as a process U(t; τ) : Xτ → Xsub>t, t≥τ, defined in time dependent phase spaces Xt = H01 (Ot) × L2.(Ot. 3 - In the context of long-time behavior of solutions we find suitable conditions to guarantee the existence of a pullback attractor. Roughly speaking, we assume the domain Q is expanding and time-like. We emphasize that our work is the first one that consider wave equations in noncylindrical domains as non-autonomous dynamical systems. With respect to parabolic equations, similar results were early obtained by Kloeden, Marín-Rubio and Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] and Kloeden, Real and Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. However our problem is hyperbolic and does not enjoy regularity properties as the parabolic ones.
 
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Date de Publication
2015-03-18
 
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