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Mémoire de Maîtrise
DOI
10.11606/D.55.2006.tde-23022007-103210
Document
Auteur
Nom complet
Fernanda Tomé Alves
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Carlos, 2006
Directeur
Jury
Carvalho, Alexandre Nolasco de (Président)
Miyagaki, Olimpio Hiroshi
Soares, Sérgio Henrique Monari
Titre en portugais
Blow-up de soluções positivas de equações semilineares
Mots-clés en portugais
Blow-up
Equações semilineares
Resumé en portugais
Considere o problema de valor inicial e de fronteira 'u IND.t'= 'delta'u + f(u) em 'ômega' x (0, T), u(x, 0) = 'fi'(x) se x 'PERTENCE A' 'ômega', u(x, t) = 0 se x 'PERTENCE A' 'delta' 'ômega', 0 < t < T, onde ­'ômega' é um domínio limitado em 'R POT.n'com bordo 'C POT.2', f é continuamente diferenciável com f(s) > 0, e 'fi' é não-negativa e suave sobre 'ômega''BARRA' com 'fi'=0 sobre 'delta''ômega'. Suponha que a única solução u(x,t) possui blow-up em tempo finito T < 'INFINITO'. A questão que se coloca é: onde ocorre o blow-up? Neste trabalho provamos que: se 'ômega'='B IND.R''ESTÁ CONTIDO EM''R POT. n', então o blow-up ocorre apenas em r=0, Além disso, se f(u)='u POT.p'p > 1, então u(r,t)'< OU = 'C/'r POT.2'('gama'-1) para qualquer 1 < 'gama'< p, e assim 'limsup IND. t'SETA'T'-||u(u.'t)||q < 'INFINITO'se q < n(p-1)/2. No caso não simétrico onde 'ômega' é um domínio complexo, provamos que conjunto de blow-up é um subconjunto compacto de 'ômega'. Se f(u)='u POT.p', p > 1, então u(x,t)'< OU = 'C/'(T-t) POT. 1/p-1' e, se n=1,2 ou se n'< OU='3 p'< OU='(n+2)/(n-2), então 'tau'POT. 'beta'u(x+'Ksi', T-'tau''SETA''C IND. 0' quando 'tau''SETA''0 POT. 1/2'e 'C IND. 0'= 'beta'POT.'beta''onde 'beta'= '(p-1) POT. -1'. As provas das estimativas essenciais para demonstração desses resultados são feitas utilizando o Princípio do Máximo
Titre en anglais
Blow-up of solutions of the semilinear equations
Mots-clés en anglais
Blow-up
Semilinear equations
Resumé en anglais
Consider the initial-boundary value problem 'u IND.t'= 'delta'u + f(u) in 'ômega' x (0, T), u(x, 0) = 'fi'(x) if x 'BELONGS' 'ômega', u(x, t) = 0 if x 'BELONGS ' '\PARTIAL' 'ômega', 0 < t < T, where ­'ômega' is a bounded domain in 'R POT.n'with 'C POT.2', f is continuously differentiable with f(s) > 0, and 'fi' is nonnegative and smooth on 'ômega''BARRA' with 'fi'=0 on '\PARTIIAL''ômega'. Assume that the unique solution u(x,t) blows up in finite time T < 'INFINITO'. The question addressed is: where does the blow-up occur? In this work we prove: if 'ômega'='B IND.R''IS CONTAINED EM''R POT. n', then blow-up occurs only at r=0, Moreover, if f(u)='u POT.p'p > 1, then u(r,t)'< OU = 'C/'r POT.2'('gama'-1) for any 1 < 'gama'< p, and hence 'limsup IND. t'SETA'T'-||u(u.'t)||q < 'INFINITO'se q < n(p-1)/2. In the nonsymmetric case where 'ômega' is a convex domain, we prove that the blow-up set lies in a compact subset of 'ômega'. If f(u)='u POT.p', p > 1, then u(x,t)'< OU = 'C/'(T-t) POT. 1/p-1' and, if n=1,2 or if n'< OU='3 and p'< OU='(n+2)/(n-2), then 'tau'POT. 'beta'u(x+'Ksi', T-'tau''SETA''C IND. 0' where 'tau''SETA''0 POT. 1/2'e 'C IND. 0'= 'beta'POT.'beta''where 'beta'= '(p-1) POT. -1'. Elementary applications of the Maximum Principle are used to prove the essential estimate for the proofs of these results.
 
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dissertacao.pdf (881.52 Kbytes)
Date de Publication
2007-02-28
 
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