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Thèse de Doctorat
DOI
10.11606/T.55.2014.tde-23032015-142340
Document
Auteur
Nom complet
Luis Florial Espinoza Sánchez
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Carlos, 2014
Directeur
Jury
Saia, Marcelo José (Président)
Ballesteros, Juan José Nuño
Craizer, Marcos
Garcia, Ronaldo Alves
Mello, Luis Fernando de Osório
Titre en anglais
Surfaces in 4-space from the affine differential geometry viewpoint
Mots-clés en anglais
Affine differential geometry
Affine distance and height functions
Affine metric
Affine normal plane
Surfaces in 4-space
Resumé en anglais
In this thesis, we study locally strictly convex surfaces from the affine differential viewpoint and generalize some tools for locally strictly submanifolds of codimension 2. We introduce a family of affine metrics on a locally strictly convex surface M in affine 4-space. Then, we define the symmetric and antisymmetric equiaffine planes associated with each metric. We show that if M is immersed in a locally atrictly convex hyperquadric, then the symmetric and the antisymmetric planes coincide and contain the affine normal to the hyperquadric. In particular, any surface immersed in a locally strictly convex hyperquadric is affine semiumbilical with respect to the symmetric or antisymmetric equiaffine planes. More generally, by using the metric of the transversal vector field on M we introduce the affine normal plane and the families of the affine distance and height functions on M. We show that the singularities of the family of the affine height functions appear at directions on the affine normal plane and the singularities of the family of the affine distance functions appear at points on the affine normal plane and the affine focal points correspond as degenerate singularities of the family of affine distance functions. Moreover we show that if M is immersed in a locally strictly convex hypersurface then the affine normal plane contains the affine normal vector to the hypersurface. Finally, we conclude that any surface immersed in a locally strictly convex hypersphere is affine semiumbilical.
Titre en portugais
Superfícies em 4-espaço desde o ponto de vista da geometria diferencial afim
Mots-clés en portugais
Funções distância e altura afim
Geometria diferencial afim
Métrica afim
Plano normal afim
Superfície em 4-espaço
Superfícies em 4-espaço
Resumé en portugais
Nesta tese estudamos as superfícies localmente estritamente convexas desde o ponto de vista da geometria diferencial afim e generalizamos algumas ferramentas para subvariedades localmente estritamente convexas de codimensão 2. Introduzimos uma família de métricas afins sobre uma superfície localmente estritamente convexa M no 4-espaço afim. Então, definimos os planos equiafins simétrico e antissimétrico associados com alguma métrica. Mostramos que se M é imersa em uma hiperquádrica localmente estritamente convexa, então os planos simétrico e assimétrico são iguais e contêm o campo vetorial normal afim à hiperquádrica. Em particular, qualquer superfície imersa em uma hiperquádrica localmente estritamente convexa é semiumbílica afim com relação ao plano equiafim simétrico ou antissimétrico. Mais geralmente, usando a métrica do campo transversal sobre M introduzimos o plano normal afim e as famílias de funções distância e altura afim sobre M. Provamos que as singularidades da família de funções altura afim aparecem como direções do plano normal afim e as singularidades da família de funções distância afim aparecem como pontos sobre o plano normal afim e os pontos focais correspondem às singularidades degeneradas da família de funções distância afim. Também provamos que se M é uma superfície imersa em uma hipersuperfície localmente estritamente convexa, então o plano normal afim contém o vetor normal afim à hipersuperfície. Finalmente, concluímos que qualquer superfície imersa em uma hiperesfera localmente estritamente convexa é semiumbílica afim.
 
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Date de Publication
2015-03-23
 
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