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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.55.2013.tde-30042013-163011
Documento
Autor
Nome completo
Luis Renato Gonçalves Dias
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2013
Orientador
Banca examinadora
Ruas, Maria Aparecida Soares (Presidente)
Ausina, Carles Bivia
Gaffney, Terence James
Jelonek, Zbigniew
Tibar, Mihai Marius
Título em inglês
Regularity at infinity and global fibrations of real algebraic maps
Palavras-chave em inglês
Asymptotic critical values
Atypical values
Bifurcation values
Integral closure
Morse-Sard type theorem
Regularity conditions at infinity
Resumo em inglês
Let f : 'K POT. ' be a 'C POT. 2' semi-algebraic mapping for K = R and a polynomial mapping for K = C. It is well-known that f is a locally trivial topological fibration over the complement of the bifurcation set B(f), also called atypical set. In this work, we consider the notion of t-regularity and 'ho E'-regularity to study the bifurcation set of semi-algebraic mappings f : 'R POT. n' 'ARROW' 'R POT. p' and polynomial mappings f : 'C POT. n' 'ARROW' 'C POT. p'. We show that t-regularity is equivalent to regularity conditions at infinity which have been used by Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro and Simon (2000) and Jelonek (2003) in order to control the asymptotic behaviour of mappings. In addition, we prove that t-regularity implies 'ho E'-regularity. The 'ho E'-regularity enables one to define the set of asymptotic non 'ho E'-regular values S(f) 'This contained' ' K POT. p', and the set 'A IND. 'ho E'' := f(Singf) U S(f). For 'C POT. 2' semi-algebraic mappings f : 'R POT. n' ARROW ' 'R POT. p' and polynomial mappings f : 'C POT. n' 'ARROW' 'C POT. p', based on a partial Thom stratification at infinity, we rove that S(f) and 'A IND. ho E' are closed real semi-algebraic sets of dimension at most p - 1 (real dimension at most 2p - 2, for f : 'C POT. n' 'ARROW' 'C POT. p'). Moreover, based on a new fibration theorem at infinity, i.e. holding in the complement of a sufficiently large ball, we obtain B(f) 'this contained' 'A IND. ho E'. We study two special classes of polynomial mappings f : 'R POT. n' "ARROW' 'R POT. p', the class of fair polynomial mappings and the class of Newton non-degenerate polynomial mappings. For fair polynomial mappings, we give an interpretation of t-regularity in terms of integral closure of modules, which is a real counterpart of Gaffney's result (1999). For non-degenerate polynomial mappings, we obtain an approximation for B(f) through a set which depends on the Newton polyhedron of f (results like this have been obtained by Némethi and Zaharia (1990) for polynomial functions f : 'C POT. n' 'ARROW' C and recently for mixed polynomial functions by Chen and Tibar (2012)). To finish, we discuss some simple consequences of our work: the equivalence t regularity <=> Rabier (equivalently Gaffney, Kuo-KOS, Jelonek) condition for mappings f : X 'ARROW' 'K POT. p', where X 'this contained' 'K POT. n' is a smooth ane variety; the problem of bijectivity of semi-algebraic mappings; and a formula to compute the Euler characteristic of regular fibres of polynomial mappings f : 'R POT. n' 'AROOW' 'R POT. n-1'. The above results are also extensions of some results obtained, for polynomial functions f : 'K POT. n' 'ARROW K, by Némethi and Zaharia (1990), Siersma and Tibar (1995), Paunescu and Zaharia (1997), Parusinski (1995) and Tibar (1998). Title: Regularity at infinity and global fibrations of real algebraic maps
Título em português
Regularidade no infinito e fibrações globais de aplicações algébricas reais
Palavras-chave em português
Condição de regularidade no infinito
Fecho integral
Teoremas tipo Morse-Sard
Valores atípicos
Valores críticos assintóticos
Valores de bifurcação
Resumo em português
Considere f : 'K POT. n' "SETA' 'K POT. p' uma aplicação semi-algébrica de classe 'C POT. 2' para K = R e uma aplicação polinomial para K = C. Por resultados clássicos, sabe-se que f é uma fibração topologicamente trivial sobre o complementar dos valores de bifurcação B(f), também chamado de valores atípicos. Neste trabalho, consideramos a t-regularidade e a 'ho E'-regularidade no estudo dos valores de bifurcação de aplicações semi-algébricas f : 'R POT. n' 'SETA' 'R POT. p' de classe 'C POT. 2' e aplicações polinomiais f : 'C POT. n' 'SETA' 'C POT. p'. Mostramos que t-regularidade é equivalente às condições de regularidade no infinito usadas por Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro e Simon (2000) e Jelonek (2003) no controle do comportamento assintótico de aplicações. Também mostramos que t-regularidade implica 'ho E'-regularidade. Através da 'ho E'-regularidade, definimos o conjunto dos valores assintóticos não 'ho E'- regulares S(f) 'K POT. p', e o conjunto 'A IND. ho E' : = f(Singf) U S(f). Para aplicações semialgébricas f : 'R POT. n' 'SETA' 'R POT. p' de classe 'C POT. 2' e aplicações polinomiais f : 'C POT. ' 'SETA' 'C POT. p', baseados na existência de uma estraticação parcial de Thom no infinito, provamos que S(f) e 'A IND. ho E' são conjuntos semi-algébricos reais de dimensão no máximo p - 1 (dimensão real no máximo 2p 2, para f : 'C POT. ' 'SETA' ' C POT. p'). Além disso, baseados em um novo teorema de fibração no infinito, ou seja na existência de fibração no complementar de uma bola de raio suficientemente grande, obtemos que o conjunto de bifurcação B(f) está contido no conjunto 'A IND. ho E'. Estudamos também duas classes de aplicações polinomiais f : 'R POT. n' 'SETA' 'R POT. p', a classe de aplicações polinomiais fair e a classe de aplicações Newton não degeneradas. Para aplicações polinomiais fair, obtemos uma interpretação da t-regularidade em termos da teoria de fecho integral de módulos, estendendo para o caso real os resultados de Gaffney (1999). Para aplicações não degeneradas, obtemos uma aproximação de B(f) através de um conjunto que depende do poliedro de Newton de f (resultados deste tipo foram obtidos por Némethi e Zaharia (1990) para funções polinomiais f : 'C POT. ' 'SETA' C e recentemente para funções polinomiais mistas por Chen e Tibar (2012)). No final, discutimos algumas consequências simples do nosso trabalho: a equivalência t-regularidade <=> condição de Rabier (equivalentemente Gaffney, Kuo-KOS, Jelonek) para aplicações f : X 'SETA' 'K POT. p', onde X 'está contido' 'K POT. n' é uma variedade suave afim; o problema de bijetividade de aplicações semi-algébricas; e uma fórmula para o cálculo da característica de Euler de fibras regulares de aplicações polinomiais f : 'R POT. n' 'SETA' 'R POT. n-1'. Os resultados acima também são extensões de alguns resultados obtidos para funções polinomiais f : 'K POT. n' 'SETA' K, por Némethi e Zaharia (1990), Siersma e Tibar (1995), Paunescu e Zaharia (1997), Parusinski (1995) e Tibar (1998). Título: Regularidade no infinito e fibrações globais de aplicações algébricas reais
 
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tese_Dias_R.pdf (1.41 Mbytes)
Data de Publicação
2013-05-02
 
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