Funções generalizadas ganharam amplo espaço de discussão e divulgação a partir da década de 1990, no contexto da entropia não extensiva de Tsallis. As funções logaritmo e exponencial generalizadas são a base para muitos estudos e aplicações: a função logaritmo generalizado é a transformação de Box-Cox enquanto a função exponencial generalizada é solução da equação diferencial de cinética química de ordem arbitrária. Apresentamos, nesta tese, uma extensão para a função exponencial generalizada com argumentos complexos, eλ^(z), que, a exemplo da função convencional, é analítica em todo plano complexo. Uma generalização consistente desta função abre espaço para outras generalizações relacionadas a ela. A nossa proposta de generalização da função exponencial leva a expressão e(iwt) em [eλ(t)]iw, o que traz vantagens na generalização da transformada de Fourier, de funções trigonométricas, hiperbólicas e log-periódicas. Nelas são preservadas importantes características e propriedades, além de extrapolar a aplicabilidade em vários contextos, tais como, fraturas de materiais, mercado financeiro, previsão de terremotos, entre outros. A nova generalização da função exponencial proporcionou um ganho significativo nas demais generalizações e, desta forma, pode-se dizer que esta generalização pertence ao seleto grupo das generalizações convenientes.

Generalized functions gained ample space for discussion and dissemination since the 1990s, in the context of Tsallis' non-extensive entropy. The generalized logarithm and exponential functions are the basis for many studies and applications: the generalized logarithm function is the Box-Cox transformation while the generalized exponential function is a solution to the differential equation of chemical kinetics of arbitrary order. In this thesis, we present a new generalization for the generalized exponential function with complex arguments eλ(z), which, like the conventional function, is analytical in the whole complex plane. A consistent generalization of this function makes room for other generalizations related to it. Our proposal to generalize the exponential function takes the expression e(iwt) to [eλ(t)]iw, which has advantages in generalizing the Fourier transform, of trigonometric, hyperbolic and log-periodic functions. In this generalization, important characteristics and properties are preserved, in addition to maintaining applicability in various contexts, such as material fractures, financial market, earthquake prediction, among others. The new generalization of the exponential function provided a significant gain in the other generalizations and, thus, it can be said that this generalization belongs to the select group of convenient generalizations.