No presente trabalho, consideraram-se os experimentos em blocos incompletos parcialmente balanceados (PBIB) com os parâmetros: v: número de tratamentos, b: número de blocos, r: número de repetições para cada tratamento, k: número de parcelas por bloco; e ainda λ₁, λ₂, ..., λ_m, n₁, ..., n₂, n_m, p_jkⁱ (i, j, k = 1, 2, ..., m), definidos conforme BOSE e NAIR (1939). Para tanto adotou-se o modelo matemático: y_ij = μ + τ_i + β _j + e_ij, onde, y_ij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; μ é a média geral; τ_i é o efeito do i-ésimo tratamento (i = 1, 2, ..., v); β _j é o efeito do j-ésimo bloco (j = 1, 2, ..., b); e_ij é o erro experimental associado à observação y_ij e supõe-se e_ij ~ N (0, σ²) e independentes. Sob essas condições foram determinados: - o sistema de equações normais; - estimadores para os efeitos ajustados de tratamentos; - variância para contrastes entre efeitos ajustados de tratamentos; - as somas de quadrados e suas esperanças matemáticas; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência desses delineamentos; - a decomposição da soma de quadrados de tratamentos ajustada [SQT(aj.)]; obtendo-se: - a expressão para a soma de quadrados ajustada para um contraste Y_j e sua esperança matemática; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência para a estimativa dos contrastes. Além disso procedeu-se ao ajuste de equações de regressão, pela técnica de polinômios ortogonais, para o caso de níveis equidistantes e não-equidistantes. A particularização de resultados foi feita considerando-se PBIB do tipo grupo divisível, relacionando-se os resultados obtidos com o caso de blocos incompletos balanceados (BIB). As principais conclusões obtidas foram: a) A SQT(aj.) é decomposta em v-1 partes ortogonais, correspondendo às somas de quadrados dos v-1 contrastes ortogonais Y_j definidos pelos v-1 auto-vetores associados aos v-1 auto-valores θ_j não nulos da matriz C das equações normais reduzidas; b) A eficiência para a estimativa do contraste Y_j é dada por E_j = θ_j ⁄ r; j = 1, 2, ...,v-1, ou seja, tanto maior a eficiência quanto maior o auto-valor de C ao qual está associado o contraste; c) A decomposição da SQT(aj.) para PBIB pode ser procedida pela mesma sistemática dos BIB, obtendo-se a soma de quadrados ajustada para o contraste Y_j [SQY_j(aj.)] através da eficiência E_j, ou seja, obtendo-se SQY.(aj.) = E_j.SQY_j.

In the present work we studied the case of experiments which are designed in partially balanced incomplete blocks (PBIB) with v̠ treatments in b&800; blocks of k̠ units per block with each treatment replicated r̠ times and λ₁, λ₂, ..., λ_m, n₁, n₂, n_m, p_jkⁱ (i, j, k = 1, 2, ..., m), defined according to BOSE and NAIR (1939). The following mathematical model was considered: y_ij = μ + τ_i + β _j + e_ij where, Y_ij is the observation under the i^th treatment in the j^th blocks; μ is the effect of the general mean; τ_i is the i^th treatment effect (i = 1, 2, …, v); β_j is the j^th block effect (j = 1, 2, ..., b); e’_ijs are normally and independently distributed with mean zero and variance σ². Under those conditions, the following was obtained: - the solution of the normal equations; - estimators for the adjusted treatment effects; - variances of the contrast among adjusted treatment effects; - the sum of squares; - the expectations of sum of squares; - the distributions of the quadratic forms; - the design efficiency; - the treatments adjusted sum of square [SQT(adj.)] decomposition; - the adjusted sum of squares expression for the contraste y_j, i.e., SQY_j(adj.); - the expectations of SQY_j(adj.) and the distribution of the quadratic forms; - the efficiency for the contrast estimates; - the adjustment of regression equations using orthogonal polinomials for the cases of equidistant and non-equidistant levels. A particular case was studied considering PBIB of the group-divisible type. The results were compared to the case of balanced incomplete blocks (BIB). The main conclusions were: a) The SQT(adj.) is partitioned into v-1 orthogonal components corresponding to the sum of squares of the v-1 orthogonal contrasts y_j defined by the v-1 eigenvectors associated to the v-1 eigenvalues θ_j, θ_j#0, of the matrix C from reduzided normal equations; b) The efficiency for the estimate of the contrast Y_j is given by E_j = θ_j ⁄ r, j = 1, 2, …, v-1, i.e., the efficiency being proportional to the eigenvalue of C to which the contrast is associated; c) The decomposition of SQT(adj.) for PBIB can be obtained in the same way that used for BIB, i.e., getting the adjusted sum of squares for the contrast Y_j [SQY_j(adj.)] from the efficiency E_j, SQY_j (adj.) = E_jSQY_j.