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Thèse de Doctorat
DOI
https://doi.org/10.11606/T.11.1988.tde-20230818-145352
Document
Auteur
Nom complet
Joao Riboldi
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
Piracicaba, 1988
Directeur
Titre en portugais
A decomposição da soma de quadrados de tratamentos nos delineamentos em blocos incompletos parcialmente balanceados
Mots-clés en portugais
DECOMPOSIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
Resumé en portugais
No presente trabalho, consideraram-se os experimentos em blocos incompletos parcialmente balanceados (PBIB) com os parâmetros: v: número de tratamentos, b: número de blocos, r: número de repetições para cada tratamento, k: número de parcelas por bloco; e ainda λ1, λ2, ..., λm, n1, ..., n2, nm, pjki (i, j, k = 1, 2, ..., m), definidos conforme BOSE e NAIR (1939). Para tanto adotou-se o modelo matemático: yij = μ + τi + β j + eij, onde, yij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; μ é a média geral; τi é o efeito do i-ésimo tratamento (i = 1, 2, ..., v); β j é o efeito do j-ésimo bloco (j = 1, 2, ..., b); eij é o erro experimental associado à observação yij e supõe-se eij ~ N (0, σ2) e independentes. Sob essas condições foram determinados: - o sistema de equações normais; - estimadores para os efeitos ajustados de tratamentos; - variância para contrastes entre efeitos ajustados de tratamentos; - as somas de quadrados e suas esperanças matemáticas; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência desses delineamentos; - a decomposição da soma de quadrados de tratamentos ajustada [SQT(aj.)]; obtendo-se: - a expressão para a soma de quadrados ajustada para um contraste Yj e sua esperança matemática; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência para a estimativa dos contrastes. Além disso procedeu-se ao ajuste de equações de regressão, pela técnica de polinômios ortogonais, para o caso de níveis equidistantes e não-equidistantes. A particularização de resultados foi feita considerando-se PBIB do tipo grupo divisível, relacionando-se os resultados obtidos com o caso de blocos incompletos balanceados (BIB). As principais conclusões obtidas foram: a) A SQT(aj.) é decomposta em v-1 partes ortogonais, correspondendo às somas de quadrados dos v-1 contrastes ortogonais Yj definidos pelos v-1 auto-vetores associados aos v-1 auto-valores θj não nulos da matriz C das equações normais reduzidas; b) A eficiência para a estimativa do contraste Yj é dada por Ej = θj ⁄ r; j = 1, 2, ...,v-1, ou seja, tanto maior a eficiência quanto maior o auto-valor de C ao qual está associado o contraste; c) A decomposição da SQT(aj.) para PBIB pode ser procedida pela mesma sistemática dos BIB, obtendo-se a soma de quadrados ajustada para o contraste Yj [SQYj(aj.)] através da eficiência Ej, ou seja, obtendo-se SQY.(aj.) = Ej.SQYj.
Titre en anglais
The sum of squares of treatments decomposition in partially balance incomplete block designs
Resumé en anglais
In the present work we studied the case of experiments which are designed in partially balanced incomplete blocks (PBIB) with v̠ treatments in b&800; blocks of k̠ units per block with each treatment replicated r̠ times and λ1, λ2, ..., λm, n1, n2, nm, pjki (i, j, k = 1, 2, ..., m), defined according to BOSE and NAIR (1939). The following mathematical model was considered: yij = μ + τi + β j + eij where, Yij is the observation under the ith treatment in the jth blocks; μ is the effect of the general mean; τi is the ith treatment effect (i = 1, 2, …, v); βj is the jth block effect (j = 1, 2, ..., b); e’ijs are normally and independently distributed with mean zero and variance σ2. Under those conditions, the following was obtained: - the solution of the normal equations; - estimators for the adjusted treatment effects; - variances of the contrast among adjusted treatment effects; - the sum of squares; - the expectations of sum of squares; - the distributions of the quadratic forms; - the design efficiency; - the treatments adjusted sum of square [SQT(adj.)] decomposition; - the adjusted sum of squares expression for the contraste yj, i.e., SQYj(adj.); - the expectations of SQYj(adj.) and the distribution of the quadratic forms; - the efficiency for the contrast estimates; - the adjustment of regression equations using orthogonal polinomials for the cases of equidistant and non-equidistant levels. A particular case was studied considering PBIB of the group-divisible type. The results were compared to the case of balanced incomplete blocks (BIB). The main conclusions were: a) The SQT(adj.) is partitioned into v-1 orthogonal components corresponding to the sum of squares of the v-1 orthogonal contrasts yj defined by the v-1 eigenvectors associated to the v-1 eigenvalues θj, θj#0, of the matrix C from reduzided normal equations; b) The efficiency for the estimate of the contrast Yj is given by Ej = θj ⁄ r, j = 1, 2, …, v-1, i.e., the efficiency being proportional to the eigenvalue of C to which the contrast is associated; c) The decomposition of SQT(adj.) for PBIB can be obtained in the same way that used for BIB, i.e., getting the adjusted sum of squares for the contrast Yj [SQYj(adj.)] from the efficiency Ej, SQYj (adj.) = EjSQYj.
 
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Date de Publication
2023-08-18
 
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