This thesis is devoted to a study of the structure and representation theory of some infinite-dimensional Lie algebras and Lie superalgebras. The first family studied is the Lie algebras of vector fields on smooth affine algebraic varieties. After an exposition of the structure of such Lie algebras, we consider representations that admit a compatible action of the coordinate ring of the algebraic variety and are finitely generated as modules over this commutative algebra. We prove that these representations can be associated with a vector bundle that admits a compatible action of the tangent sheaf. We also prove that the action of the tangent sheaf is given by a differential operator. These results allow us to solve a conjecture made in the first papers of this theory. The second family considered is a supergeometry version of the previous. After an investigation of the smoothness of algebraic supervarieties, we prove that the global sections of the tangent sheaf of a smooth integral affine supervariety form a simple Lie superalgebra. Subsequently, we consider representations of this Lie superalgebra that admit a compatible action of global sections of the structure sheaf of the affine supervariety. Analogously to the non-super case, we show that the associated sheaf of modules admits a compatible action of the tangent sheaf when it is coherent. We also prove that this action is defined by a differential operator. Lastly, we study the weight modules with finite multiplicities over the map superalgebra associated with a basic Lie superalgebra. We prove that these representations are either cuspidal or parabolically induced from a cuspidal bounded module over a subalgebra of the map superalgebra. We also show that cuspidal bounded modules are evaluation modules.

Esta tese é dedicada a um estudo sobre a estrutura e a teoria de representação de algumas álgebras de Lie e superálgebras de Lie de dimensão infinita. A primeira família estudada é a álgebra de Lie de campos vetoriais em uma variedade algébrica afim suave. Após uma exposição sobre a estrutura dessas álgebras de Lie, consideramos representações que admitem uma ação compatível do anel de coordenadas da variedade algébrica e são geradas finitamente como módulos sobre essa álgebra comutativa. Provamos que essas representações podem ser associadas a um feixe coerente que admite uma ação compatível do feixe tangente. Também provamos que a ação do feixe tangente é dada por um operador diferencial. A segunda família considerada é a versão em supergeometria da anterior. Após uma investigação sobre a suavidade de supervariedades algébricas, provamos que as seções globais do feixe tangente de uma supervariedade afim integral suave é uma superálgebra de Lie simples. Em seguida, consideramos as representações dessa superálgebra de Lie que admitem uma ação compatível das seções globais do feixe estrutural da supervariedade afim. De forma análoga ao caso não-super, mostramos que o feixe de módulos associado admite uma ação compatível do feixe tangente quando é coerente. Além disso, mostramos que essa ação é definida por um operador diferencial. Por fim, estudamos módulos de peso com multiplicidades finitas sobre a superálgebra de aplicações associada a uma superálgebra de Lie básica. Provamos que essas representações são cuspidais ou parabólicas induzidas de um módulo cuspidal limitado sobre uma subálgebra da superálgebra de aplicações. Mostramos também que módulos cuspidal limitados são módulos de avaliação.