As possíveis diferenças entre variedades com curvatura seccional não negativa e variedades com curvatura positiva juntamente com o problema de classificar estas variedades são problemas de pesquisa atual. O problema de classificação depende da dimensão, e para dimensões maiores que 3 o problema ainda está em aberto. Não obstante, Hsiang-Kleiner e Kleiner provaram que uma variedade simplesmente conexa e compacta que admite um campo de Killing não trivial (que em nosso contexto é equivalente à existência de uma ação isométrica não trivial de 'S IND. 1') é homeomorfa a 'S IND. 4', ou a 'S IND. 2' X 'S IND. 2', ou a 'CP IND. 2' diferente + ou - 'CP IND. 2' quando a curvatura é não-negativa, e homeomorfa a 'S IND. 4', ou a 'CP IND. 2' quando a curvatura é positiva. Nosso objetivo nesse trabalho é explicar os detalhes geométricos da prova deste resultado, e portanto será nosso teorema principal. Na prova fazemos uso da classificação topológica de 4-variedades suaves fechadas e simplesmente conexas por meio da forma de intersecção. Também apresentamos uma interpretação geométrica para o conceito de formas de intersecção e encontramos estas formas para as variedades de acima. Observamos que o teorema principal dá uma classificação completa, já que as variedades de acima admitem métricas que satisfazem as hipóteses correspondentes

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