Os estudos descritos neste trabalho foram inspirados no experimento de vibração de placas metálicas finas realizado/investigado por Ernst Chladni no século XVIII, no qual era possível, através da vibração das placas, a observação das linhas nodais decorrentes dessa vibração. Nesse experimento, a placa é presa apenas pelo seu centro e sua borda permanece livre. Estudamos o problema de vibração de placas finas desde a sua modelagem física, que leva à equação diferencial parcial que governa o problema, até a implementação numérica. Na implementação numérica trabalhamos com uma condição de contorno que equivale a considerar a placa presa nas bordas. Apesar de essa condição de contorno ser diferente daquela do problema de Chladni, este trabalho apresenta discussões e apontamentos para trabalhos futuros com a condição de contorno de bordo livre. Caracterizamos a solução da equação diferencial, que consiste de uma parte temporal e uma parte espacial. A parte espacial é solução de um problema de autovalor, que nos propusemos a resolver numericamente, utilizando o Método de Elementos Finitos (MEF). Apresentamos (três) diferentes formulações dentro do mesmo método (MEF): uma aproximação polinomial quadrática não conforme e duas aproximações polinomiais de quinto grau, ambas conformes|e fizemos comparações entre elas. As conformes serão úteis para trabalhos futuros com a condição de contorno de bordo livre. A não conforme foi usada para a obtenção dos principais resultados: as imagens das linhas nodais que caracterizam os modos de vibração da placa e os autovalores correspondentes. Estudamos como os autovalores associados aos modos de vibração de urna placa retangular evoluem em função da proporção entre seus lados. Também apresentamos imagens de linhas nodais para placas de diferentes formatos poligonais

The studies described in this work were inspired by the experiment of vibration of thin metal plates, carried out/investigated by Ernst Chladni in the eighteenth century, in which the observation of the nodal lines resulting from this vibration was possible through the vibration of the plates. In this experiment, the plate is clamped only by its center and its edge remains free. We studied the vibration problem of thin plates frorn their physical rnodeling, which leads to the partial differential equation that governs the problern, until the numerica.l implementation. In the numerical implernentation, we worked with a boundary condition that is equivalent to considering the platc clampcd by their edges. Although this houndary condition is diffcrent from that of thc Chladni's problem, this work presents discussions and notes that can be used for future works with the condition of free boundary. We characterized the solution of the differential equation, which is composed of a temporal part and a spatial part The spatial part is the solution of an eigenvalue problem, which we proposed to solve nurnerically, using the Finite Element Method (FEM). We present (three) different formulations within tho same method (FEM): a nonconforming quadratic polynornial approximation and two fifth degree polynomial approxirnations, both conforrning|an

 

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Fecha de Publicación

2023-07-27

 

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