Este trabalho trata da existência e regularidade de soluções globais de equações diferenciais parciais de primeira ordem, definidas no toro n-dimensional Tⁿ, Tⁿ = Rⁿ / (2πZⁿ), no contexto de espaços de funções ultradiferenciáveis de tipo Beurling e tipo Roumieu. Apresentamos a caracterização de tais espaços via séries de Fourier. Sob certas condições, obtemos uma forma normal para as equações. Condições diofantinas surgem naturalmente neste trabalho.

We study the existence and regularity of global solutions of first order partial differential equations, defined on n-dimensional torus Tⁿ, Tⁿ = Rⁿ / (2πZⁿ), in context of ultradifferentiable function spaces of Beurling type and Roumieu type. We present characterization of such spaces by Fourier series. Under certain condition, we obtain a normal form of our equations. Diophantine conditions appears naturally in this work. Another application of this theory is the study of solvability in the context Beurling and Roumieu ultradiferentiable classes to the operator mentioned above.