Resumo: Neste trabalho estudamos alguns aspectos básicos da teoria de Equações Diferenciais com Memória Dependendo do Estado. Nosso principal objetivo é o estudo da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais neutras explícitas com memória dependendo do estado da forma x'(t) = f (t, x' (σ(t, x(t)))), t ∈ [0, a], x0 = φ ∈ C([-p, 0]; Rn), onde f : [0, a] x Rn → Rn, φ : [-p, 0] → Rn e σ : [0, a] x Rn → [-p, a], via o Princípio da Contração de Banach, um dos tópicos mais importantes da teoria geral de equações diferenciais com memória dependendo do estado. Para atingirmos este objetivo desenvolvemos estudos qualitativos para modelos de equações diferenciais (com e sem memória) mais simples do que as equações diferenciais com memória dependendo do estado, o que também permitiu entender as diferenças entre a teoria qualitativa de equações diferenciais com memória dependendo do estado e as outras teorias de equações com memória.

In this work we study some basic aspects of the theory of Differential Equations with state-dependent delay. Our main objective is to study the existence and uniqueness of solutions to explicit neutral differential equations with state-dependent delay of the form x'(t) = f (t, x' (σ(t, x(t)))), t ∈ [0, a], x0 = φ ∈ C([-p, 0]; Rn), where f : [0, a] x Rn → Rn, φ : [-p, 0] → Rn e σ : [0, a] x Rn → [-p, a], via the Banach Contraction Principle, one of the most important topics in the general theory of differential equations with state-dependent delay. To achieve this objective, we developed qualitative studies for models of differential equations (with and without memory) that are simpler than differential equations with state-dependent delay, which also allowed us to understand the differences between the qualitative theory of differential equations with state-dependent delay and the other theories of equations with memory.